A soma dos ângulos de um triângulo. O teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo

O triângulo é um polígono tendo três lados (três ângulos). Na maioria das vezes, a parte indicada por letras minúsculas letras maiúsculas, que representam vértices opostos correspondentes. Neste artigo vamos dar uma olhada nestes tipos de formas geométricas, teorema, que define o que é igual à soma dos ângulos de um triângulo.

Tipos maiores ângulos

Os seguintes tipos de polígono com três vértices:

• acutângulo, na qual todos os ângulos são nítidas;
• rectangular que tem um ângulo recto, o lado formando-a, a que se refere as pernas, e o lado que está disposta do lado oposto ao ângulo recto é chamado a hipotenusa;
• obtuso quando um ângulo obtuso ;
• isósceles, cujos dois lados são iguais, e são chamados lateral, e a terceira – um triângulo com uma base;
• equilátero ter três lados iguais.

Propriedades

Atribuir as propriedades básicas que são características de cada tipo de triângulo:

• em frente ao lado maior é sempre maior ângulo, e vice-versa;
• são ângulos iguais opostas a igual maior parte, e vice-versa;
• em qualquer triângulo tem dois ângulos agudos;
• ângulo exterior maior do que qualquer ângulo para o interior da mesma não adjacentes;
• a soma de quaisquer dois ângulos é sempre inferior a 180 graus;
• ângulo externo é igual à soma dos outros dois cantos, que não são mezhuyut com ele.

O teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo

O teorema afirma que, se você somar todos os cantos da forma geométrica, que está localizado no plano euclidiano, então sua soma será 180 graus. Vamos tentar provar este teorema.

Vamos temos um triângulo arbitrário com vértices KMN. Na parte superior de M vai realizar um paralelo direto para a linha de KN (mesmo esta linha é chamado Euclides). Deve-se notar o ponto A de modo a que os pontos K e A são dispostos a partir de lados diferentes da linha de MN. Nós obter o mesmo ângulo de AMS e MUF, que, como o interior, encontram-se transversalmente para formar intersectando MN em conjunto com CN directa e MA, que são paralelas. Disto segue-se que a soma dos ângulos do triângulo, localizados nos vértices de m e n é igual ao tamanho do ângulo de CMA. Todos os três ângulos consistir numa quantia igual à soma dos ângulos de KMA e MCS. Uma vez que os dados são ângulos internos relativos linhas paralelas faces CL CM e MA em intersecção, a sua soma é de 180 graus. Isto prova o teorema.

resultado

Os acima do teorema acima implica o seguinte corolário: cada triângulo tem dois ângulos agudos. Para provar isso, vamos supor que esta figura geométrica tem somente um ângulo agudo. Você também pode assumir que nenhum dos cantos não são nítidas. Neste caso, deve haver pelo menos dois ângulos, cuja magnitude é igual ou superior a 90 graus. Mas então a soma dos ângulos é maior do que 180 graus. Mas isso não pode ser, como de acordo com os ângulos soma teorema de um triângulo é igual a 180 ° – nem mais, nem menos. Isso é o que tinha que ser provado.

Propriedade cantos externos

O que é a soma dos ângulos de um triângulo, que são externos? A resposta a esta pergunta pode ser obtida através da aplicação de duas maneiras. A primeira é que você precisa encontrar a soma dos ângulos, que são tomadas um em cada vértice, ou seja, três ângulos. A segunda implica que você precisa encontrar a soma dos seis ângulos nos vértices. Para lidar com o início da primeira concretização. Assim, o triângulo contém seis cantos exteriores – no topo de cada um dos dois. Cada par tem ângulos iguais entre si, uma vez que eles são verticais:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Além disso, sabe-se que o canto externo de um triângulo é igual à soma dos dois interior, que não são mezhuyutsya com ele. portanto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

A partir disso, parece que a soma dos ângulos externos, que são levados um a um perto de cada vértice será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Dado o fato de que a soma dos ângulos é igual a 180 graus, pode-se argumentar que ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Isto significa que ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Se a segunda opção é utilizada, a soma dos seis ângulos será correspondentemente maior duas vezes. Ou seja, a soma dos ângulos de um triângulo fora será:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triângulo retângulo

O que é igual à soma dos ângulos de um triângulo retângulo, é a ilha? A resposta é, novamente, do Teorema, que afirma que os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Um som nossa afirmação (propriedade) da seguinte forma: em um triângulo retângulo ângulos agudos adicionar até 90 graus. Provamos sua veracidade. Haja dado triângulo KMN, que ∟N = 90 °. É necessário para provar que ∟K ∟M = + 90 °.

Assim, de acordo com o teorema da soma dos ângulos ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Nesta condição, é dito que ∟N = 90 °. Acontece ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Isso é ∟K ∟M + = 180 ° – 90 ° = 90 °. Isso é o que devemos provar.

Além das propriedades acima de um triângulo retângulo, você pode adicioná-los:

• ângulos, que se encontram contra as pernas são nítidas;
• a hipotenusa do triângulo maior do que qualquer das pernas;
• a soma das pernas mais do que a hipotenusa;
• perna do triângulo, que se encontra oposto ao ângulo de 30 graus, metade da hipotenusa, que é igual ao seu meio.

Como outra propriedade da forma geométrica pode ser distinguida teorema de Pitágoras. Ela argumenta que em um triângulo com um ângulo de 90 graus (rectangulares), a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

A soma dos ângulos de um triângulo isósceles

Anteriormente dissemos que um triângulo isósceles é um polígono com três vértices, contendo dois lados iguais. Esta propriedade é conhecida figura geométrica: os ângulos em sua base igual. Vamos provar isso.

Leve o triângulo KMN, que é isósceles, SC – sua base. Somos obrigados a provar que ∟K = ∟N. Então, vamos supor que MA – KMN é a bissectriz do nosso triângulo. ICA triângulo com o primeiro sinal de igualdade é triângulo MNA. Nomeadamente, por hipótese dado que CM = NM, MA é um lado comum, ∟1 = ∟2, porque MA – este bissectriz. Usando a igualdade dos dois triângulos, pode-se argumentar que ∟K = ∟N. Assim, o teorema está provado.

Mas estamos interessados em, que é a soma dos ângulos de um triângulo (isósceles). Devido a este respeito não tem suas características, vamos começar a partir do teorema discutido anteriormente. Ou seja, podemos dizer que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ou 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (como ∟K = ∟N). Isso não vai provar a propriedade, como o teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo foi provado anteriormente.

Excepto as propriedades consideradas dos cantos de um triângulo, também existem tais considerações importantes:

• em uma altura triângulo equilátero, que tinha sido reduzido para a base, é, simultaneamente, a bissectriz médio do ângulo que se situa entre os lados iguais e o eixo de simetria da sua base;
• mediano (bissectriz, altitude), que são realizadas para os lados de uma figura geométrica, são iguais.

triângulo equilátero

É também chamado de direita, é o triângulo, que são iguais para todas as partes. E, portanto, também igual e ângulos. Cada um deles é de 60 graus. Vamos provar essa propriedade.

Vamos supor que temos um triângulo KMN. Sabemos que KM = HM = KH. Isto significa que, de acordo com o estabelecimento dos ângulos situados na base de um triângulo equilátero ∟K = ∟M = ∟N. Uma vez que, de acordo com a soma dos ângulos de um triângulo teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, então x 3 = 180 ° ∟K ou ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Assim, a afirmação é comprovada. Como pode ser visto a partir da evidência acima baseado no teorema acima, a soma dos ângulos de um triângulo equilátero, como a soma dos ângulos de qualquer outro triângulo é de 180 graus. Mais uma vez provando este teorema não é necessário.

Existem ainda algumas propriedades características de um triângulo equilátero:

• altura mediana bissector numa figura geométrica idêntica, e o seu comprimento é calculado como (a x √3): 2;
• se este polígono que circunscreve o circulo, em seguida, o raio irá ser igual a (x um √3): 3;
• se inscreve num triângulo equilátero círculo, o seu raio seria (um x √3): 6;
• área da figura geométrica é calculada pela fórmula: (a2 x √3): 4.

triângulo obtuso

Por definição, um triângulo obtuso-angular, um dos seus cantos está entre 90 a 180 graus. Mas dado o fato de que os outros dois ângulos da forma geométrica afiada, pode-se concluir que eles não excedam 90 graus. Portanto, a soma dos ângulos de um teorema do triângulo funciona no cálculo da soma dos ângulos de um triângulo obtuso. Assim, podemos dizer com segurança, baseado no teorema acima que a soma dos ângulos obtusos de um triângulo é 180 graus. Mais uma vez, este teorema não precisa re-prova.