Como encontrar os lados de um triângulo direito? Fundamentos da geometria

As pernas e a hipotenusa são os lados de um triângulo direito. Os primeiros são os segmentos adjacentes ao ângulo direito, e a hipotenusa é a parte mais longa da figura e é o oposto do ângulo de 90 ^° . Um triângulo pitagórico é aquele cujos lados são iguais aos números naturais; Seu comprimento neste caso é chamado de "troika pitagórica".

O triângulo egípcio

Para que a geração atual reconheça a geometria na forma em que é ensinada na escola agora, ela evoluiu ao longo de vários séculos. O ponto fundamental é o teorema de Pitágoras. Os lados de um triângulo retangular (a figura é conhecida pelo mundo inteiro) são 3, 4, 5.

Poucas pessoas não estão familiarizadas com a frase "calças pitagóricas em todas as direções são iguais". No entanto, de fato, o teorema parece assim: c ² (hipotenusa quadrada) = a ² + b ² (a soma dos quadrados das pernas).

Entre os matemáticos, um triângulo com lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) é chamado de "egípcio". Curiosamente, o raio do círculo, que está inscrito na figura, é igual a um. O nome surgiu em torno do século V aC, quando os filósofos da Grécia viajaram para o Egito.

Ao construir as pirâmides, os arquitetos e topógrafos usaram a proporção 3: 4: 5. Tais estruturas tornaram-se proporcionais, de aparência agradável e espaçosas, e também raramente colapsaram.

Para construir um ângulo reto, os construtores usavam uma corda, na qual doze nós estavam amarrados. Nesse caso, a probabilidade de construir um triângulo retangular foi aumentada para 95%.

Sinais de igualdade

• Um ângulo agudo em um triângulo de ângulo reto e um lado grande que são iguais aos mesmos elementos no segundo triângulo é um sinal indiscutível de igualdade de figuras. Tendo em conta a soma dos ângulos, é fácil provar que os segundos ângulos afiados também são iguais. Assim, os triângulos são os mesmos no segundo sinal.
• Quando duas figuras se sobrepõem, roteamo-las para que, combinando, se tornem um triângulo isósceles. De acordo com suas propriedades, os lados, ou mais precisamente, a hipotenusa, são iguais, assim como os cantos da base, o que significa que essas figuras são as mesmas.

Pelo primeiro sinal é muito simples provar que os triângulos são realmente iguais, o principal é que os dois lados menores (ou seja, as pernas) são iguais.

Os triângulos serão idênticos no segundo sinal, cuja essência reside na igualdade da perna e no ângulo agudo.

Propriedades de um triângulo de ângulo reto

A altura que foi abaixada do ângulo direito, divide a figura em duas partes iguais.

Os lados de um triângulo de ângulo reto e suas medianas são fáceis de reconhecer pela regra: a mediana, que é abaixada para a hipotenusa, é igual à sua metade. A área da figura pode ser encontrada tanto pela fórmula de Heron quanto pela afirmação de que é igual a metade do produto das pernas.

Em um triângulo em ângulo recto, as propriedades dos ângulos são 30 ^° , 45 ^° e 60 ^° .

• Em um ângulo de 30 ^° , deve-se lembrar que a perna oposta será 1/2 do lado maior.
• Se o ângulo for 45 °, o segundo ângulo agudo também é 45 °. Isso sugere que o triângulo é isósceles, e as pernas são as mesmas.
• A propriedade de um ângulo de 60 ° é que o terceiro ângulo tem uma medida de grau de 30 °.

A área é facilmente reconhecida por uma das três fórmulas:

1. Através da altura e do lado, em que afunda;
2. Pela fórmula de Heron;
3. Nos lados e na esquina entre eles.

Os lados de um triângulo de ângulo reto, ou mais precisamente as pernas, convergem com duas alturas. Para encontrar o terceiro, é necessário considerar o triângulo formado, e então, pelo teorema de Pitágoras, calcular o comprimento necessário. Além desta fórmula, há também uma proporção da área dobrada e do comprimento da hipotenusa. A expressão mais comum entre os alunos é a primeira, uma vez que requer menos cálculos.

Teoremas aplicados a um triângulo direito

A geometria de um triângulo em ângulo reto inclui o uso de teoremas como:

1. O teorema de Pitágoras. Sua essência reside no fato de que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas. Na geometria euclidiana, essa relação é a chave. Você pode usar a fórmula se você tiver um triângulo, por exemplo, SNH. SN – hipotenusa, e deve ser encontrada. Então SN ² = NH ² + HS ² .
2. O teorema do coseno. Generaliza o teorema de Pitágoras: g ² = f ² + s ² -2fs * cos o ângulo entre eles. Por exemplo, um triângulo DOB é dado. Conhecidos DB cathete e hypotenuse DO, é necessário encontrar OB. Em seguida, a fórmula toma a forma dada: OB ² = DB ² + DO ² -2DB * DO * cos do ângulo D. Existem três conseqüências: o ângulo do triângulo será agudo, se o quadrado do terceiro for subtraído da soma dos quadrados dos dois lados, o resultado deve ser inferior a zero. O ângulo é obtuso, se a expressão for maior que zero. O ângulo é uma linha reta para zero.
3. O teorema do seno. Isso mostra a dependência dos lados nos cantos opostos. Em outras palavras, esta é a proporção dos comprimentos dos lados para os seios dos cantos opostos. No triângulo HFB, onde a hipotenusa é HF, haverá: ângulo HF / sin B = ângulo FB / sin H = HB / sin ângulo F.