Cálculo diferencial de funções de uma e várias variáveis

Cálculo diferencial é um ramo da análise matemática, que examina a derivada, diferenciais e a sua utilização no estudo de funções.

A história de

Cálculo diferencial surgiu como uma disciplina independente, na segunda metade do século 17, graças ao trabalho de Newton e Leibniz, que formulou as disposições fundamentais no cálculo dos diferenciais e notou a conexão entre integração e diferenciação. Desde a disciplina ele desenvolveu juntamente com o cálculo de integrais, constituindo assim a base da análise matemática. O aparecimento destes cálculos abriu um novo período moderno no mundo matemático e causou o surgimento de novas disciplinas em ciência. Também estendeu a possibilidade de aplicar a matemática nas ciências naturais e engenharia.

conceitos básicos

Cálculo diferencial baseia-se nos conceitos fundamentais da matemática. Eles são: um número real, continuidade e limite de função. Depois de um tempo, eles tomaram uma aparência moderna, graças ao cálculo integral e diferencial.

O processo de criação

Formação do cálculo diferencial na forma de uma aplicação, e, em seguida, o método científico ocorreu antes do surgimento da teoria filosófica, que foi criado por Nikolai Kuzansky. Seu trabalho é considerado um desenvolvimento evolutivo da antiga ciência do julgamento. Apesar do fato de que o próprio filósofo não era um matemático, a sua contribuição para o desenvolvimento da ciência matemática é inegável. Cusa, um dos primeiros da consideração da aritmética como a ciência mais precisa, matemática colocar o tempo em causa.

Em matemáticos antigos critério universal era uma unidade, enquanto o filósofo proposto como um novo infinito medida retornar o número exato. Em conexão com esta representação invertida de precisão na ciência matemática. O conhecimento científico, em sua opinião, é dividido em racional e inteligente. A segunda é mais preciso, de acordo com o cientista, uma vez que o primeiro dá apenas resultados aproximados.

idéia

A idéia básica eo conceito de cálculo diferencial associado com a função em um pequeno bairro de certos pontos. Para isso, é necessário criar um aparato matemático para funcionar estudos cujo comportamento em um pequeno bairro de pontos instalados perto o comportamento de uma função linear ou um polinômio. Com base nesta definição de derivado e diferencial.

O surgimento do conceito do derivado foi causado por um grande número de problemas de ciências naturais e matemática, o que levou à determinação de valores-limite do mesmo tipo.

Uma das principais tarefas que são dadas como exemplo, começando com as classes mais antiga escola, é determinar a velocidade do movimento de um ponto em uma linha reta e a construção da linha tangente a esta curva. O diferencial ligado a este, uma vez que é possível aproximar a função em uma pequena vizinhança do ponto de uma função linear.

Comparado com o conceito de derivado de uma função de uma variável real, a definição dos diferenciais simplesmente passa sobre a função da natureza geral, em particular, a imagem de um espaço euclidiano para outro.

derivado

Deixe o ponto se move na direção do eixo-y, para o tempo que levamos x, que é medido a partir do início de um momento. Descrevem um tal movimento é possível pela função y = (x) f, o qual está associado a cada ponto de tempo coordenada x ponto deslocável. Esta chamada de função em mecânica de tomar lei do movimento. A característica principal do movimento, particularmente irregular, é a velocidade instantânea. Quando o ponto é movido ao longo do eixo y de acordo com a lei da mecânica, o ponto de tempo aleatório adquire coordenada x f (x). No ponto de tempo x +? H, em que? H representa o incremento de tempo, que vai kordinaty f (x +? H). fórmula assim formado Ay = f (x +? H) – f (x), que é chamado de uma função de incremento. É um ponto do caminho percorrido durante o tempo de x para x + Sh.

Em conexão com a ocorrência da velocidade no derivativo de tempo é administrado. O derivado de qualquer função para um ponto fixo chamado o limite (supondo que ele existe). Pode ser referido determinados caracteres:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

O processo de calcular a derivada de diferenciação chamada.

Cálculo diferencial de funções de várias variáveis

Este método é aplicado ao calcular estudo função, diversas variáveis. Quando existem duas variáveis x e y, a derivada parcial em relação a x no ponto A é chamado o derivado desta função em X com um y fixo.

Pode ser indicada pelos seguintes símbolos:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x e ∂f (x, y) '/ ∂x.

habilidades necessárias

A fim de aprender e ser capaz de resolver diffury habilidades necessárias na integração e diferenciação com sucesso. Para torná-lo mais fácil de entender as equações diferenciais, deve ser entendido derivado tema e integral indefinida. Também não fere para aprender a olhar para a derivada da função implícita. Isto é devido ao fato de que no processo de aprendizagem, muitas vezes, usar integrais e diferenciação.

Tipos de equações diferenciais

Virtualmente todo o trabalho de controlo associado com as equações diferenciais de primeira ordem, existem 3 tipos de equações: homogéneos, com variáveis separáveis, não homogéneos lineares.

Há também equações espécies mais raras com diferenciais totais, a equação de Bernoulli, e outros.

soluções Fundamentos

Para começar, devemos lembrar é a equação algébrica de um curso escolar. Eles contêm as variáveis e números. A fim de resolver a equação convencional deve encontrar abundância de números que satisfazem uma condição especificada. Normalmente, essas equações têm uma raiz, e para a validação só deve substituir este valor em lugar desconhecido.

A equação diferencial é similar a esta. Em geral, uma equação de primeira ordem compreende:

• variável independente.
• Um derivado da primeira função.
• Função ou variável dependente.

Em alguns casos, pode não haver um desconhecido, x ou y, mas não é tão importante como é necessário para que o primeiro derivado de, sem derivados de ordem mais elevada para a solução e o cálculo diferencial eram verdadeiras.

Resolver a equação diferencial – significa a encontrar o conjunto de todas as funções que são dadas expressão adequado. Tais conjuntos de funções é frequentemente chamado de controle de solução geral.

cálculo integral

cálculo integral é uma das seções de análise matemática, que examina o conceito de integrais, propriedades e métodos do seu cálculo.

Muitas vezes, o cálculo da integral ocorre quando o cálculo da área de uma forma curvilínea. Por este meio, uma área limite, para o qual uma área pré-determinada da forma de polígono inscrito com um aumento gradual na sua mão, e o lado dos dados pode ser feito com menos do que algum valor pequeno arbitrária anteriormente especificado.

A ideia principal no cálculo da área de qualquer forma geométrica está a calcular a área de um rectângulo, em seguida, há evidências de que a sua área é igual ao produto do comprimento pela largura. Quando se trata de geometria, em seguida, todas as construções são feitas usando uma régua e um compasso, e, em seguida, a relação entre comprimento e largura é um valor racional. Ao calcular a área de um triângulo retângulo pode ser determinado que se você colocar um ao lado do triângulo, um rectângulo é formado. Na área do paralelogramo são calculados por um método semelhante, mas ligeiramente mais complicado, dentro de um rectângulo e um triângulo. Na área de um polígono é considerado por triângulos incluídos nele.

Na determinação da mercê de arbitrária, este método não se ajusta a curva. Se nós quebrá-lo em quadrados individuais, ele permanecerá vagas não preenchidas. Neste caso, tentar usar duas demãos, com rectângulos acima e abaixo, como um resultado das incluir o gráfico da função e não inclui. Importante aqui é uma maneira de quebrar esses retângulos. Além disso, se tomarmos a ruptura cada vez mais reduzida, a área da parte superior e inferior devem convergir para um determinado valor.

Ele deve retornar a um método para separar em retângulos. Existem dois métodos populares.

Riemann foi formalizada definição da integral, criado por Leibniz e Newton, como a área de subgrafo. Neste caso, considerou-se uma figura que consiste num certo número de rectângulos verticais obtidos dividindo o intervalo. Quando a quebra de um decréscimo há um limite para o qual a área reduzida de uma tal figura, este limite é chamado o integral de Riemann de uma função em um intervalo especificado.

Um segundo método consiste em construir o Lebesgue, que consiste no facto de que no lugar de separação da área designada em uma parte do integrando e compilar então a soma integral dos valores obtidos nestas partes, em intervalos dividido a sua gama de valores e, em seguida resumido com as medidas correspondentes imagens inversas destes integrais.

meios modernos

Um dos principais benefícios para o estudo do cálculo diferencial e integral Fikhtengol'ts escreveu – "do cálculo diferencial e integral." Seu livro é uma ferramenta fundamental para o estudo da análise matemática, que resistiram a muitas edições e traduções para outras línguas. Criado para estudantes e por um longo tempo utilizado em uma variedade de instituições de ensino como um dos principais benefícios do estudo. Ele dá informações teóricos e habilidades práticas. Publicado pela primeira vez em 1948.

função de pesquisa algoritmo

Para explorar os métodos de função de cálculo diferencial, você precisa seguir já é dado algoritmo:

1. Encontre o domínio da função.
2. Encontrar as raízes da equação dada.
3. Calcular os extremos. Para fazer isso, nós calculamos a derivada e o ponto onde ele é igual a zero.
4. Nós substituímos o valor obtido na Eq.

Variedades de equações diferenciais

O controlo da primeira ordem (de outra forma, o cálculo diferencial de uma variável) e seus tipos:

• Com variáveis separáveis equação: f (y) dy = g (x) dx.
• A equação diferencial ou função de cálculo mais simples de uma variável, tendo a fórmula: y '= f (x).
• A primeira ordem de controlo não uniforme linear: y '+ P (x) y = Q (X).
• equação diferencial de Bernoulli: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Equação diferenciais totais com: P (x, y) Q (x, y) dy = 0 + dx.

As equações diferenciais de segunda ordem e seus tipos:

• equação diferencial de segunda ordem linear homogéneo com ^{coeficientes constantes: y n + py '+ qy} = 0 p, q pertence R.
• homognea equação linear diferencial de segunda ordem com coeficientes de ^{valor constante: y n + py '+ qy} = f (x).
• ^equação diferencial linear ^{homogéneo: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, e ^{a equação} no homognea de segunda ^{ordem: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Equações diferenciais de ordens superiores e seus tipos:

• A equação diferencial, permitindo a redução da ^{ordem: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Uma equação linear de ordem superior ^{_{homogénea: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + … + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, e ^{_{no homognea: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + … + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Estágios de resolver o problema com a equação diferencial

Com a ajuda do controle remoto são resolvidos não só matemática ou problemas físicos, mas também os vários problemas de biologia, economia, sociologia e outros. Apesar da grande variedade de tópicos, deve seguir uma seqüência lógica única para resolver estes problemas:

1. Elaboração de controle. Uma das etapas mais difíceis, o que exige o máximo de precisão, pois qualquer erro vai levar a resultados completamente erradas. É necessário tomar em consideração todos os factores que afectam o processo e determinar as condições iniciais. Também deve ser baseado em fatos e conclusões lógicas.
2. Para resolver equações. Este processo é mais fácil para o primeiro ponto, uma vez que exige apenas a aplicação estrita de cálculos matemáticos.
3. Análise e avaliação dos resultados. solução derivada deve ser avaliada para a instalação de valor prático e teórico do resultado.

Um exemplo do uso de equações diferenciais na medicina

Usando o controle remoto no campo da medicina é encontrada na construção do modelo matemático epidemiológica. Não devemos esquecer que estas equações também são encontrados em biologia e química, que estão perto da medicina, porque ela desempenha um papel importante no estudo de diferentes populações biológicas e processos químicos no corpo humano.

Neste exemplo, a epidemia de propagação da infecção podem ser tratados numa comunidade isolada. Os habitantes são divididos em três tipos:

• Infectado, o número de x (t), que consistia de indivíduos, de portadores infecciosos, cada um dos quais é infeccioso (período de incubação é curto).
• O segundo tipo inclui indivíduos susceptíveis y (t), pode ser infectado por contacto com infectada.
• O terceiro tipo inclui indivíduos refractários z (t), que são imunes ou perdido devido a uma doença.

Número de indivíduos constantemente, mantendo nascimento, mortes naturais e migração não é considerado. No núcleo será duas hipóteses.

doença por cento em algum ponto no tempo é igual a x (t), y (t) (assunção com base na teoria de que o número de casos em proporção ao número de cruzamentos entre pacientes e membros reactivos, que em primeira aproximação é proporcional a X (t), y (t)), em portanto, o número de casos está a aumentar, e o número de quedas sensíveis a uma taxa que é calculado pela fórmula machado (t) y (t) (a> 0).

Número de animais não-respondedores que morreram ou que a imunidade adquirida, o aumento a uma taxa que é proporcional ao número de casos, bx (t) (b> 0).

Como resultado, você pode configurar um sistema de equações com todos os três indicadores com base em suas conclusões.

Exemplo de uso economia

cálculo diferencial é frequentemente utilizado na análise econômica. A principal tarefa na análise económica é considerado o estudo dos valores da economia, que são registrados na forma da função. Ele é usado na resolução de problemas, tais como alterações nos aumentos de imposto de renda imediatamente após, taxas de entrada, mudanças em receitas ao alterar o valor do produto, em que proporção podem ser substituídos por funcionários aposentados com novos equipamentos. Para resolver tais problemas, é necessário construir uma função de comunicação das variáveis de entrada, que, depois de ter sido estudados por cálculo diferencial.

muitas vezes é necessário para encontrar o desempenho mais ideal na esfera econômica: a máxima produtividade, a maior renda, menos custos e assim por diante. Cada tal componente representa uma função de uma ou mais argumentos. Por exemplo, a produção pode ser considerada como uma função do trabalho e do capital. A este respeito, encontrar um valor adequado pode ser reduzido para encontrar o máximo ou mínimo de uma função de uma ou mais variáveis.

Tais problemas criar uma classe de problemas extremas no campo econômico, para o qual você precisa cálculo diferencial. Quando o indicador económico é necessário para minimizar ou maximizar como uma função de outros parâmetros, a função máxima ponto proporção incremento para os argumentos tenderá para zero, se o incremento do argumento tende para zero. Caso contrário, quando tal atitude tende a um certo valor positivo ou negativo, o ponto especificado não é adequada, porque, aumentando ou diminuindo o argumento pode ser alterado valor dependente na direcção desejada. Na terminologia cálculo diferencial, isso significaria que as condições necessárias para a função máxima é um valor de zero de um seu derivado.

A economia não é problema incomum de encontrar o extremo de uma função de diversas variáveis, porque os indicadores econômicos são feitos de muitos fatores. Tais questões são bem compreendidos na teoria de funções de várias variáveis, o método de cálculo diferencial. Esses problemas incluem não só maximizada e função minimizado, mas também limitações. Estas questões dizem respeito à programação matemática, e eles são resolvidos com a ajuda de métodos especialmente desenvolvidos também são baseados neste ramo da ciência.

Entre os métodos de cálculo diferencial utilizados na economia, uma secção importante é o teste final. Na esfera econômica, o termo refere-se a um conjunto de métodos de pesquisa de desempenho variável e resulta quando você alterar o volume da criação, consumo, com base na análise de seus valores-limite. Limitando indicação considerado derivado ou os derivados parciais com diversas variáveis.

Cálculo diferencial de diversas variáveis – um tema importante da análise matemática. Para um estudo detalhado, você pode usar uma variedade de material didáctico para as instituições de ensino superior. Um dos mais famosos Fikhtengol'ts criados – "do cálculo diferencial e integral." Como grande parte do nome para a solução de equações diferenciais de importância considerável para ter as habilidades para trabalhar com integrais. Quando há um cálculo diferencial de funções de uma variável, a decisão torna-se mais fácil. Embora, deve-se notar, segue as mesmas regras básicas. Na prática, para investigar a função do cálculo diferencial, basta seguir o algoritmo já existente, que é dada na escola, e apenas um pouco complicada com a introdução de novas variáveis.