Séries de Fourier: a história e influência do mecanismo matemático para o desenvolvimento da ciência

série de Fourier – essa visão funções escolhido arbitrariamente para o período consecutivo. Em termos gerais, esta solução é chamada o elemento de expansão sobre uma base ortogonal. A expansão de funções em Série de Fourier é uma ferramenta bastante poderosa para resolver vários problemas devidos às propriedades de transformação na integração, diferenciação, assim como uma mudança na expressão argumento e convolução.

Uma pessoa que não está familiarizado com a matemática superior, bem como com as obras do Fourier cientista francês, provavelmente não vai entender o que o "fileiras" e que eles fazem. No entanto, esta transformação é bastante entrou firmemente nossas vidas. Ele é usado não só matemática, mas também físicos, químicos, médicos, astrônomos, sismólogos, oceanógrafos e outros. Vamos também dar uma olhada com as obras do grande cientista francês que fizeram a descoberta, à frente de seu tempo.

O homem e a transformada de Fourier

Séries de Fourier é um dos métodos (juntamente com a análise e outros) da transformada de Fourier. Este processo ocorre cada vez que uma pessoa ouve qualquer som. Nosso ouvido converte automaticamente a onda sonora. movimento oscilatório das partículas elementares em um meio elástico são expandidos no volume de valores sucessivos da série (o espectro) para tons de diferentes alturas. Em seguida, o cérebro converte esses dados em sons familiares para nós. Tudo isso é, além de nosso desejo ou a própria consciência, mas, a fim de compreender os processos que levam vários anos para estudar matemática superior.

Leia mais sobre a transformada de Fourier

A transformada de Fourier pode ser levada a cabo analítica, números e outros métodos. série de Fourier são numeral processo para a decomposição de quaisquer processos oscilatórios – a partir das marés e ondas de luz para ciclos solares (e outros objectos astronómicas) actividade. Usando estas técnicas matemáticas, é possível desmontar a função, representando quaisquer processos oscilatórios em um número de componentes sinusoidais que vão de mínimo a máximo e vice-versa. A transformada de Fourier é uma função que descreve a fase e a amplitude dos sinusóides correspondentes a uma frequência particular. Este processo pode ser utilizado para resolver um muito complexas equações que descrevem os processos dinâmicos que ocorrem sob a acção do calor, luz ou energia eléctrica. Além disso, a série de Fourier usadas para distinguir componentes CC na forma de onda complexas, tornando-se possível interpretar correctamente as observações experimentais em medicina, química e astronomia.

informações históricas

O fundador desta teoria é o matemático francês Zhan Batist Zhozef Fure. Seu nome mais tarde e esta transformação tem sido chamado. Inicialmente, os cientistas utilizado uma técnica para estudar e explicar os mecanismos de condutividade térmica – propagação de calor em sólidos. Fourier sugerido que a distribuição irregular inicial da onda térmica pode ser decomposto em sinusóide simples, cada uma das quais terá a sua temperatura mínima e máxima, bem como a sua fase. Assim, cada componente a ser medido a partir de mínimo a máximo e vice-versa. A função matemática que descreva os picos superiores e inferiores da curva, bem como a fase de cada harmónica, chamado a transformada de Fourier da distribuição de temperatura de expressão. O autor da teoria da função de distribuição global reduzida que é difícil de descrição matemática, de uma forma muito fácil de lidar com uma série de funções periódicas de seno e cosseno, no valor de dar a distribuição inicial.

O princípio da conversão e os pontos de vista contemporâneos

Contemporâneos do cientista – os maiores matemáticos do início do século XIX – não aceitou esta teoria. A principal objecção foi a aprovação de Fourier que a função descontínua descrevendo uma linha recta ou curva é rasgada, pode ser representada como uma soma de expressões sinusoidais que são contínuas. Como exemplo, considere um "passo" Heaviside: seu valor é zero à esquerda do fosso e um à direita. Esta função descreve a dependência da corrente eléctrica sobre a variável tempo para a cadeia de fecho. teoria contemporânea naquele momento, nunca encontrou uma tal situação, quando uma expressão descontínua seria descrito por uma combinação de funções comuns, contínuos, tais como exponencial, seno, linear ou quadrática.

O que preocupou os matemáticos franceses na teoria de Fourier?

Apesar de tudo, se uma matemático foi direito de discutir, em seguida, soma uma série de Fourier trigonométrica infinito, é possível obter uma representação exacta do passo de expressão, mesmo que tenha um conjunto de passos semelhantes. No início do século XIX, esta declaração parecia absurdo. Mas apesar de todas as dúvidas, muitos matemáticos têm ampliado o escopo do estudo deste fenómeno, movendo-o para além dos estudos de condução térmica. No entanto, a maioria dos cientistas continuou a sofrer a pergunta: "Pode a soma da série de onda senoidal converge para o valor exato de uma função descontínua"

Convergência das séries de Fourier: Exemplo

A questão da convergência aumenta a cada vez que você precisar a soma de uma série infinita de números. considerar um exemplo clássico para a compreensão desse fenômeno. você pode nunca chegar a parede, se cada etapa é a metade da anterior? Suponha que você está dois metros do gol, o primeiro passo para cerca de metade do caminho, o próximo – a marca de um de três quartos, e após o quinto, você vai superar quase 97 por cento do caminho. No entanto, não importa quantos passos que você fez não, o alvo pretendido chegar em um sentido matemático rigoroso. Usando cálculos numéricos, podemos provar que, no final, pode estar mais perto de um arbitrariamente pequena determinada distância. Isto é equivalente a uma prova demonstrando que o valor total de um meio, um quarto, e assim por diante. E. tenderá a unidade.

A questão da convergência: a segunda vinda, ou instrumento de Lord Kelvin

Repetidamente a questão surgiu no final do século XIX, quando a série de Fourier têm tentado usar para prever a intensidade dos fluxos e refluxos. Nessa altura, Lord Kelvin foi inventado dispositivo é um computador analógico que permitiu marinheiros marinha e um monitor da marinha mercante é um fenómeno natural. Este conjunto de mecanismo definida de fases e amplitudes da altura da mesa dos mares e os momentos de tempo correspondentes, cuidadosamente medidos no porto ao longo do ano. Cada parâmetro é um senoidais alturas de maré expressão componente e foi um dos componentes regulares. Os resultados da medição são entrada para o dispositivo de computação Lord Kelvin, sintetizando curva que previu altura da água como uma função do ano seguinte. Muito em breve, estas curvas foram elaborados para todos os portos do mundo.

E se o processo será quebrado função descontínua?

Nessa altura, parecia evidente que o dispositivo de predição de uma onda, com muitos elementos da conta pode calcular um grande número de fases e amplitudes, e assim fornecer uma previsão mais exacta. No entanto, descobriu-se que este padrão não é observado nos casos em que a expressão de maré que serão sintetizados, continha um forte salto, ou seja, são descontínuos. No caso em que o aparelho para inserir dados de uma tabela de pontos no tempo, ele calcula alguns coeficientes de Fourier. Recuperando a função original devido ao componente sinusoidal (em conformidade com os coeficientes encontrados). A discrepância entre o original e a expressão reconstruída pode ser medido em qualquer ponto. Quando os cálculos de repetição e comparações pode ser visto que o valor do maior erro não seja reduzido. No entanto, elas são localizadas na região correspondente ao ponto de ruptura, e qualquer outro ponto tendem para zero. Em 1899, este resultado foi confirmado teoricamente Joshua Willard Gibbs, da Universidade de Yale.

Convergência de séries de Fourier e o desenvolvimento da matemática como um todo

análise de Fourier não se aplica a expressão contendo um número infinito de rajadas em um determinado intervalo. Em geral séries de Fourier, se a função original é representado pelo resultado das medições físicas reais, sempre convergem. Questões de convergência deste processo para classes específicas de funções levaram a novos ramos da matemática, como a teoria de funções generalizadas. Ela está associada com nomes como Schwartz, J .. Mikusiński e J. Temple. Sob esta teoria, uma base teórica evidente e preciso para tal expressão foi estabelecida como a função delta de Dirac (que descreve a região de uma única área, concentrou-se em um bairro infinitesimal do ponto) e "passo" de Heaviside. Através deste trabalho séries de Fourier tornou-se aplicável para resolver equações e problemas, que envolvem conceitos intuitivos: carga ponto, ponto de massa, dipolos magnéticos, ea carga concentrada na trave.

método de Fourier

Série de Fourier, em conformidade com os princípios da interferência, começará com a decomposição de formas complexas em mais simples. Por exemplo, uma alteração no fluxo de calor devido à sua passagem através das várias barreiras de calor de material de forma irregular isolante ou alterar a superfície do solo – um tremor de terra, uma mudança na órbita do corpo celeste – a influência dos planetas. Tipicamente, estas equações que descrevem elementar sistema clássico simples resolvido para cada comprimento de onda individual. Fourier mostrou que soluções simples pode ser resumida como para tarefas mais complexas. Na linguagem da matemática, série de Fourier – uma metodologia para a apresentação de soma de harmônica expressão – co-seno e ondas senoidais. Portanto, esta análise é também conhecido sob o nome de "análise harmônica".

série de Fourier – um método ideal para a "era do computador"

Antes da criação da tecnologia de computador método de Fourier é a melhor arma no arsenal de cientistas que trabalham com a natureza ondulatória do nosso mundo. série de Fourier em forma complexa permite-lhe não só resolver problemas simples que são passíveis de aplicação de leis da mecânica de Newton direto, mas também as equações fundamentais. A maioria das descobertas da ciência newtoniana do século XIX tornou-se possível somente devido ao método de Fourier.

série de Fourier hoje

Com o desenvolvimento da transformada de Fourier computadores subiram para um novo nível. Esta técnica é firmemente entrincheirado em quase todos os campos da ciência e tecnologia. Como exemplo, um áudio e vídeo digital. Sua implementação tem sido possível apenas graças à teoria desenvolvida pelo matemático francês do início do século XIX. Assim, a série de Fourier na forma de complexo tem permissão para fazer um avanço no estudo do espaço exterior. Além disso, ele tem afectado o estudo da física de materiais semicondutores e de plasma, acústica de microondas, Oceanography, radar, sismologia.

série de Fourier trigonométrica

Em matemática, uma série de Fourier é uma forma de representar funções complexas arbitrárias como uma soma de mais simples. Em casos gerais, o número de expressões pode ser infinito. Quanto maior for o número contado no cálculo, mais preciso o resultado final é obtido. O uso mais comum de cosseno trigonométrica simples ou função seno. Neste caso, a série de Fourier é chamado trigonométricas, ea decisão de tais expressões – decomposição harmônica. Este método desempenha um papel importante em matemática. Primeiro de tudo, a série trigonométrica fornece um meio para a imagem, bem como o estudo das funções, é a principal unidade da teoria. Além disso, permite-nos resolver uma série de problemas na física matemática. Finalmente, esta teoria tem contribuído para o desenvolvimento da análise matemática, que deu origem a uma série de ramos muito importantes da ciência matemática (teoria de integrais, teoria de funções periódicas). Além disso, o ponto de partida para o desenvolvimento das seguintes teorias: conjuntos, funções de uma variável real, análise funcional, e também lançou as bases para análise harmônica.