O que é aritmética? teorema fundamental da aritmética. aritmética binária

O que é aritmética? Quando a humanidade começou a usar números e trabalhar com eles? Onde estão suas raízes de conceitos cotidianos, como números, frações, subtracção, adição e multiplicação, essa pessoa tem feito parte integrante de sua vida e as perspectivas? mentes gregos admirado ciências como a matemática, aritmética e geometria, como uma bela sinfonia de lógica humana.

Talvez matemática não é tão profunda como as outras ciências, mas o que aconteceria com eles, as pessoas esquecem as tabelas de multiplicação elementares? Familiar para nós o pensamento lógico, usando números, frações, e outras ferramentas para dar às pessoas um momento difícil, e por um longo tempo não estava disponível para os nossos antepassados. Na verdade, antes do desenvolvimento da aritmética nenhuma área do conhecimento humano não era verdadeiramente científica.

Aritmética – Matemática é o alfabeto

Aritmética – a ciência dos números, com a qual qualquer indivíduo começa a familiaridade com o mundo fascinante da matemática. Nas palavras de M. V. Lomonosov, aritmética – esta é a porta de aprendizagem, abrindo o caminho para nós Miropoznanie. Mas ele está certo, é o conhecimento do mundo pode ser separado do conhecimento de letras e números, matemática e linguagem? Talvez nos velhos tempos, mas não no mundo moderno, onde o rápido desenvolvimento da ciência e tecnologia faz suas próprias leis.

A palavra "aritmética" (gr. "Arifmos") de origem grega, significa "número". Ele examina o número e tudo o que pode ser associado com eles. Este é o mundo de números: várias operações em números, regras numéricas, as tarefas que estão associadas com a multiplicação, subtração, e assim por diante ..

É geralmente aceite que o primeiro passo é a média aritmética Matemática e base sólida para os mais complexos suas secções, tais como álgebra, análise matemática, matemática superior e t. D.

O principal objecto da aritmética

A base da aritmética – é um inteiro, propriedades e leis que são considerados o maior aritmética ou teoria dos números. Na verdade, como a abordagem correta é tomada em consideração de uma pequena unidade de tal, como um número natural dependente da força do edifício – matemática.

Portanto, a questão que é a aritmética, a resposta é simples: é a ciência dos números. Sim, sobre o costume de sete, nove, e tudo isso comunidade diversificada. E ainda bem, e os versos mais medíocres não pode escrever sem alfabeto básico, sem aritmética não pode ser resolvido mesmo tarefas básicas. É por isso que todas as ciências têm avançado somente após o desenvolvimento da aritmética e matemática, sendo principalmente um conjunto de pressupostos.

Aritmética – ciência-fantasma

O que é aritmética – ciência natural ou um fantasma? Na verdade, como os antigos filósofos gregos fundamentado, sem números, não existem números na realidade não existe. É apenas um fantasma, que é criado no pensamento humano ao ver o ambiente e seus processos. De fato, qual é o número? Em nenhum lugar em torno de nós não vemos nada disso poderia ser chamado o número, melhor dizendo, o número – é uma maneira de explorar o mundo da mente humana. Talvez este estudo nós temos dentro de si? Os filósofos discutem sobre isso por muitos séculos em uma fileira, de modo a dar uma resposta exaustiva não assumimos. De qualquer maneira, a aritmética podia tão firmemente tomar a sua posição no mundo moderno ninguém pode ser considerado socialmente adaptado sem o conhecimento de seus fundamentos.

Como não havia um número inteiro positivo

Claro, o objeto principal dos quais opera aritmética, – número natural tal como 1, 2, 3, 4, …, 152 … etc. Aritmética dos números naturais é o resultado da despesa de objetos comuns, tais como vacas em um prado. Ainda assim, a definição de "muito" ou "um pouco" quando algo deixa de responsabilizar as pessoas, e teve que inventar técnica de contagem mais sofisticada.

Mas o verdadeiro avanço veio quando a mente humana atingiu o ponto que pode ser um e o mesmo número de "dois" para designar e 2 kg, e 2 tijolo e 2 partes. O fato de que é necessário abstrair as formas, características e significado dos objetos, então nós podemos produzir alguma ação com esses objetos na forma de inteiros positivos. Assim nasceu a aritmética de números, que é mais desenvolvida e ampliado em que ocupa uma posição na sociedade.

Tal em profundidade o conceito de número, como zero e os números negativos, frações, números referem-se aos números de outras maneiras, tem uma história rica e interessante de desenvolvimento.

Aritméticas e práticos egípcios

Dois antigo companheiro humano no estudo do mundo e resolver os problemas cotidianos – este aritmética e geometria.

Acredita-se que a história da aritmética tem suas origens no antigo Oriente: Índia, Egito, Babilônia e China. Então, Rhind origem egípcia papiro (assim chamado porque o mesmo nome pertencente ao proprietário), que remonta ao século XX. AC, além de outros dados valiosos inclui a expansão de uma fracção na quantidade de fracções com diferentes denominadores e numerador igual a um.

Por exemplo: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Mas qual é o significado de uma decomposição tão complexo? O fato de que a abordagem egípcio não tolera abstraída pensar em números, pelo contrário, os cálculos foram feitos apenas para fins práticos. Ou seja, os egípcios serão envolvidos em negócios, tais como cálculos, unicamente com o objectivo de construir o túmulo, por exemplo. Foi necessário calcular o comprimento da estrutura fin, e feita para uma pessoa sentar papiro. Como pode ser visto, o progresso egípcia nos cálculos foi chamado, em vez enorme, construindo, ao invés de um amor da ciência.

Por esta razão, os cálculos encontrados em papiros, não pode ser chamado de reflexões sobre o tema da frações. O mais provável, é uma preparação prática, o que ajudou a resolver mais problemas com frações. Os antigos egípcios não sabia a tabuada, produziu bastante longos cálculos, espalhar-se em muitos subtarefas. Talvez este é um daqueles subtarefas. É fácil notar que os cálculos com esses espaços em branco é muito demorado e não muito promissor. Talvez por essa razão, não vemos uma grande contribuição para o desenvolvimento de antigos matemática egípcia.

Grécia antiga e aritmética filosófica

Muitos dos conhecimentos do antigo Oriente foram dominado com sucesso pelos gregos antigos, conhecidos por fãs de reflexão abstrata, abstrato e filosófico. Praticá-los interessados em nada menos do que os melhores teóricos e pensadores são difíceis de encontrar. Foi bom para a ciência porque a matemática não é possível ir mais fundo, não rasgá-la com a realidade. Claro, é possível multiplicar as 10 vacas e 100 litros de leite, mas não ser capaz de se mover muito.

Gregos pensar profundamente deixou uma marca significativa na história, e suas obras chegaram até nós:

• Euclides e "Elements".
• Pitágoras.
• Arquimedes.
• Eratóstenes.
• Zenon.
• Anaxágoras.

E, claro, transforma toda a filosofia dos gregos e, especialmente, os seguidores de Pitágoras casos eram tão apaixonado sobre os números, que lhes uma harmonia mundial mistério considerados. Os números têm sido tão estudado e investigado, que alguns deles e seus casais atribuídas propriedades especiais. Por exemplo:

• números perfeitos – aqueles que são a soma de todos os seus divisores excepto o próprio número (6 = 1 + 2 + 3).
• números Friendly – estes números, um dos quais é a soma de todos os divisores do segundo e vice-versa (de Pitágoras só conhece um tal par: 220 e 284).

Os gregos, que acreditavam que a ciência deve ser amado, não ser com ela por causa do ganho, têm feito grandes progressos, explorar, brincar e adicionando números. Deve-se notar que nem todas as suas pesquisas têm sido amplamente utilizados, alguns deles eram apenas "para a beleza."

pensadores orientais da Idade Média

Da mesma forma, na Idade Média aritmética que deve o seu desenvolvimento para os contemporâneos orientais. Os índios nos deu os números que usamos ativamente tal coisa como "zero", ea variação posição sistema de cálculo, a percepção moderna habitual. De Al-mingau, que no século 15 trabalhou em Samarkand, herdamos os decimais, sem a qual é difícil imaginar aritmética moderna.

Em muitos aspectos, a Europa familiarizados com as realizações do Oriente foi possível graças ao trabalho do cientista italiano Leonardo Fibonacci, que escreveu um livro "Liber Abaci", familiarizando com inovações orientais. Tornou-se a pedra angular do desenvolvimento da álgebra e aritmética, pesquisas e atividades científicas na Europa.

aritmética russo

Finalmente, aritmética, encontrou o seu lugar e enraizado na Europa, começou a se espalhar sobre a terra russa. primeira aritmética russo publicado em 1703 – era um livro sobre aritmética Leontiya Magnitskogo. Por um longo tempo ele foi o único tutorial em matemática. Ele contém os momentos iniciais da álgebra e geometria. Os números, que foram utilizados nos exemplos do primeiro livro da Rússia da aritmética, árabe. Embora algarismos arábicos nos encontramos antes, nas gravuras que remontam ao século 17.

O livro em si é decorado com imagens de Arquimedes e Pitágoras, e na primeira página – aritmética imagem como uma mulher. Ela se senta no trono, abaixo dela está escrito na palavra hebraica para o nome de Deus, e nos degraus que levam ao altar, inscrita com a palavra "divisão", "aumento", "adição", e assim por diante. D. Só podemos imaginar o valor traído tais verdades, que agora são considerados comuns.

O livro de 600 páginas descreve como a base de adição como e tabelas de multiplicação, e aplicações para as ciências da navegação.

Não surpreendentemente, o autor escolheu a imagem dos pensadores gregos para seu livro, porque ele próprio foi cativado pela beleza da aritmética, dizendo: "Aritmética tem chislitelnitsa há arte justo, nezavistnoe …". Esta abordagem à aritmética for julgado procedente, porque é a sua adopção generalizada pode ser considerado o início do rápido desenvolvimento do pensamento científico na Rússia e na educação geral.

primes inquietos

número primo – é um número natural, que fica a apenas 2 divisores positivos: 1 e ele próprio. Todos os outros números, excepto uma é chamado composto. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, e todas as outras que não são outros do que um divisores e o próprio número.

Quanto ao número 1, é um prêmio – há um acordo que deve ser considerado simples nem composto. Simples à primeira vista, um simples número esconde muitos mistérios não resolvidos dentro de si.

Teorema de Euclides diz que um número infinito de primos, e Eratóstenes veio com uma aritmética "peneira" especial, que elimina números complicados, deixando apenas simples.

Sua essência é para enfatizar o primeiro número undelete, e na impressionante posterior fora aqueles que são múltiplos do mesmo. Nós repetimos este procedimento várias vezes – e obter uma tabela de números primos.

teorema fundamental da aritmética

Entre as observações sobre números primos preciso mencionar especialmente o teorema fundamental da aritmética.

teorema de aritmética básica afirma que qualquer inteiro maior que 1, ou um simples ou pode ser decomposto em um produto de números primos até a ordem dos fatores de repetição, o único caminho.

teorema fundamental da aritmética mostrou bastante complicado, e entender que não é como apenas o básico.

À primeira vista, os números primos – conceito elementar, mas não é. Física também considerado uma vez átomo elementar, até que encontrou dentro de um universo. Primes dedicada uma bela matemático história Don Zagier "Os primeiros cinquenta milhões de números primos."

Dos "três maçãs" às leis dedutivas

Isso realmente pode ser chamado de uma base reforçada de toda a ciência – as leis da aritmética. Mesmo como uma criança toda a face aritmética, estudando o número de pernas e braços nas bonecas, o número de cubos, maçãs e assim por diante. D. Por isso, estudar aritmética, que, em seguida, avança para regras mais complexas.

Toda a nossa vida nos apresenta as regras da aritmética, que eram para o homem comum o mais útil de todos que a ciência dá. O estudo dos números – é "Aritmética-baby", que introduz o homem para o mundo dos números como dígitos na primeira infância.

Aritmética superior – ciência dedutiva que estuda as leis da aritmética. A maioria deles se sabe, embora talvez não sabemos o seu teor exato.

A lei de adição e multiplicação

Quaisquer dois inteiros a e b pode ser expressa como a soma de a + b, o qual também é um número natural. Em relação ao disso, as seguintes leis:

• Comutativa, que diz que a permutação dos termos coloca quantidade não muda, ou a + b = b + a.
• Associativo que a referida soma não dependem do método de agrupamento dos termos em locais, ou a + (b + c) = (a + b) + c.

Regras da aritmética, como adição, – um dos princípios básicos, mas eles são usados todas as ciências, para não mencionar a vida cotidiana.

Qualquer dois inteiros a e b podem ser expressas no produto ou a * b * a * b, o qual também é um número natural. Para aplicar o produto as mesmas leis comutativa e associativa como para a adição de:

• a * b = b * um;
• um * (b * c) = (a * b) * c.

É interessante que há uma lei, que combina adição e multiplicação, também conhecido como uma distribuição ou lei distributiva:

um (b + c) = ab + AC

Esta lei nos ensina a trabalhar com suportes, abrindo-os, assim, já podemos trabalhar com fórmulas mais complexas. Estas são as leis que nos levará através do mundo pitoresca, mas complexo de álgebra.

ordem aritmética Lei

sobre as leis da lógica humana ele usa todos os dias, verificando o relógio e contando as contas. E, no entanto, e deve ser feita em um idioma específico.

Se tivermos dois inteiros positivos a e b, então as seguintes opções:

• a é igual a b, ou a = b;
• um menor que b, ou um <b;
• a é maior que b ou a> b.

Das três opções apenas pode ser apenas um. A Lei Básica, que regula o procedimento, disse: Se a <b e b <c, em seguida, um <c.

Também há leis que ligam as acções da ordem de adição e multiplicação: se um <b, em seguida a + c <b + c e ac <bc.

As leis da aritmética nos ensinou a trabalhar com números, sinais e suportes, transformando tudo em uma sinfonia harmoniosa de números.

sistema de numeração posicional e nonpositional

Podemos dizer que os números – esta é a linguagem da matemática, da conveniência de que depende de muitas coisas. Existem muitos sistemas de cálculo, que, como os alfabetos de diferentes línguas diferentes.

Considere o sistema de numeração a partir do ponto de posições de impacto sobre o valor quantitativo do dígito nesta posição. Por exemplo, sistema romano é nonpositional onde cada número é codificado por um conjunto específico de caracteres especiais: eu / V / X / L / C / D / M. Eles são, respectivamente, os números 1/5/10/50/100/500 / 1000. Neste sistema, a figura não muda a sua determinação quantitativa, dependendo em que posição ele deve: .. O primeiro, segundo, etc. Para obter os outros números, é necessário estabelecer a base. Por exemplo:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mais familiar para nós sistema de numeração em algarismos arábicos é posicional. Em tal sistema o número de descarga define o número de dígitos, por exemplo, números de três dígitos: 333, 567, etc. O peso de qualquer da descarga depende de uma posição na qual a figura é um ou o outro, por exemplo, a figura 8 na segunda posição, tem um valor de 80. É típico para o sistema decimal, há outro sistema de posicionamento, tais como binário.

aritmética binária

Estamos sistema decimal familiarizado, composta por algarismos de um único bit e multi-bit. A figura à esquerda no número dígito é dez vezes maior em importância para o outro à direita. Então, estamos habituados a ler 2, 17, 467, e assim por diante. D. É uma seção lógica e abordagem diferente, que é chamado de "aritmética binária." Isto não é surpreendente, porque a aritmética binária não é criado para a lógica humana, e para o computador. Se a aritmética dos números originado a partir da contagem, que ainda captada a partir da propriedade sujeita a "naked" aritmética, então isso não vai funcionar com o seu computador. Para ser capaz de compartilhar seus conhecimentos com o computador, um homem teve que inventar um modelo de cálculo.

aritmética binária funciona com o alfabeto binário, que consiste apenas de 0 e 1. E o uso deste alfabeto é chamado de um sistema binário.

Ao contrário decimal aritmética binária que a importância da posição da esquerda não são mais de 10, e 2 vezes. Os números binários são do formulário 111, 1001 e assim por diante. D. Como devemos entender esses números? Assim, consideramos o número 1100:

1. O primeiro dígito à esquerda – 1 * 8 = 8, tendo em conta que o quarto dígito, o que significa que ele deve ser multiplicado por 2, obtemos a posição 8.
2. Segundo dígito 1 * 4 = 4 (posição 4).
3. O terceiro dígito 0 * 2 = 0 (posição 2).
4. O quarto dígitos 0 * 1 = 0 (posição 1).
5. Assim, o nosso número 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Ou seja, a transição para uma nova categoria à esquerda de sua importância no sistema binário é multiplicado por 2 eo decimal – a 10. Tal sistema tem uma desvantagem: é demasiado grandes pedaços de crescimento que são necessários para gravar números. Exemplos números decimais dvochinyh como pode ser visto na tabela a seguir.

Números decimais são representados em forma binária abaixo.

Ele também é usado octal, e sistema de numeração hexadecimal.

Esta misteriosa aritmética

O que é aritmética, "dois mais dois" ou mistérios inexploradas de números? Como você pode ver, aritmética, pode, e que parece à primeira vista um simples, mas não é óbvia facilidade enganosa. É possível estudar as crianças, e junto com a tia coruja do desenho animado "Aritmética-baby", e você pode mergulhar na pesquisa científica profunda fim quase filosófico. Na história que passou de contar objetos para adorar a beleza de números. Uma coisa é certa: com o estabelecimento dos postulados básicos de aritmética, toda a ciência pode confiar em seu ombro forte.