Georg Cantor: a teoria dos conjuntos, biografia e matemática família

Georg Cantor (foto mostra no final do artigo) – matemático alemão que desenvolveu a teoria dos conjuntos e introduziu o conceito de números transfinitos, infinitamente grande, mas diferentes umas das outras. Ele também deu uma definição de números ordinais e cardinais e estabeleceu sua aritmética.

Georg Cantor: uma breve biografia

Nascido em St. Petersburg 1845/03/03. Seu pai era um dinamarquês protestante Georg Waldemar Cantor, estava envolvido no comércio, em Vol. H. E na bolsa de valores. Sua mãe, Maria, Bem era católico e veio de uma família de músicos proeminentes. Quando em 1856 o seu pai George ficou doente, a família em busca de um clima mais ameno mudei para Wiesbaden, em seguida, para Frankfurt. talento matemático, o menino apareceu antes de seu aniversário de 15 anos, enquanto estudava em escolas particulares e escolas públicas em Darmstadt e Wiesbaden. No final, Georg Cantor convenceu o pai em sua determinação de se tornar um matemático, em vez de um engenheiro.

Depois de um breve treinamento na Universidade de Zurique em 1863. Cantor foi transferido para a Universidade de Berlim para estudar física, filosofia e matemática. Lá ele foi ensinado:

• Karl Theodor Weierstrass, cuja especialização na análise, provavelmente teve a maior influência sobre George;
• Ernst Kummer, que ensinou a maior aritmética;
• Leopold Kronecker, em número especialista em teoria, que mais tarde se opôs Cantor.

Tendo passado um semestre na Universidade de Göttingen em 1866, no próximo ano George escreveu sua tese de doutorado, sob o título "Em matemática, a arte de fazer perguntas é mais valioso do que a resolução de problemas" em relação ao problema que Carl Friedrich Gauss ficaram por resolver na sua Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Depois de ensinar brevemente na Escola de Berlim para meninas Kantor começou a trabalhar na Universidade de Halle, onde permaneceu até o fim de sua vida, primeiro como professor, desde 1872 como professor assistente, e desde 1879 o primeiro como professor.

pesquisa

No início de uma série de 10 obras de 1869 a 1873, Georg Cantor considerada a teoria dos números. O trabalho reflete a paixão pelo assunto de seu estudo eo efeito de Gauss Kronecker. Por sugestão de Heinrich Eduard Heine, colegas de Cantor em Halle, que reconheceu seu talento matemático, ele se voltou para a teoria da série trigonométrica, que ampliou o conceito de números reais.

Com base na função de trabalho de uma variável complexa do matemático alemão Bernhard Riemann em 1854, em 1870, Cantor mostrou que tal função pode ser representada em apenas uma maneira – por séries trigonométricas. Análise do conjunto de números (pontos), que não estaria em contradição com essa visão, levou-o, em primeiro lugar, em 1872, com a definição dos números irracionais em termos de sequências convergentes de números racionais (frações de inteiros) e, em seguida, para o início dos trabalhos na obra de sua vida, set teoria eo conceito de números transfinitos.

teoria de conjuntos

Georg Cantor, a teoria que define originou em correspondência com o Instituto Técnico de Braunschweig matemático Richard Dedekind, foi amigos com ele desde a infância. Eles concluíram que os conjuntos, finito ou infinito, estão uma pluralidade de elementos (por exemplo, números {0, ± 1, ± 2 …}) que possuem uma determinada propriedade, embora mantendo a sua individualidade. Mas quando Georg Cantor aplicado para estudar as suas características de uma correspondência (por exemplo, {A, B, C} a {1, 2, 3}), ele rapidamente percebido que eles diferem no seu grau de controlo, mesmo se fosse conjuntos infinitos , t. e. conjunto pedaço ou um subconjunto dos quais inclui o mesmo número de objectos, uma vez que é por si só. Seu método logo deu resultados surpreendentes.

Em 1873, Georg Cantor (matemático) mostraram que um número racional, embora infinito, são contáveis, porque eles podem ser colocados em correspondência de um-para-um com naturais (isto é. E. 1, 2, 3 ,. D.). Ele mostrou que o conjunto dos números reais constituídos por um infinito racional e irracional, e incontável. Que paradoxo, Cantor provou que o conjunto de todos os números algébricos contém tantos elementos como o conjunto de todos os inteiros, e que os números transcendentais que não são algébrica, que são um subconjunto dos números irracionais é incontável e, portanto, o seu número é maior do que os números inteiros e deve ser considerado como infinito.

Os opositores e apoiantes

Mas o trabalho Cantor, no qual ele apresentou pela primeira vez os resultados, não foi publicado na revista "Krell" como um dos revisores, Kronecker foi contrário. Mas, depois da intervenção do Dedekind que foi publicado em 1874 sob o título "As características de todos os números algébricos reais."

Ciência e vida pessoal

No mesmo ano, durante a lua de mel com sua esposa, Valli Gutman em Interlaken, Suíça, Cantor conheceu Dedekind que gentilmente comentou sobre sua nova teoria. George salário era pequeno, mas com o dinheiro de seu pai, que morreu em 1863, ele tinha construído para sua esposa e cinco filhos em casa. Muitos de seus trabalhos foram publicados na Suécia na nova revista Acta Mathematica, o editor e fundador do que era Gösta Mittag-Leffler, um dos primeiros a reconhecer o talento do matemático alemão.

A comunicação com a metafísica

Teoria Cantor foi completamente novo objecto de investigação relativa ao infinito matemática (por exemplo, a sequência de 1, 2, 3 ,. D., e define mais complexas), que é em grande parte dependente de correspondência de um-para-um. Cantor Desenvolvimento de novos métodos para definir questões relativas à continuidade e infinito emprestou seus estudos misturado.

Quando ele argumentou que um número infinito realmente existe, ele virou-se para a filosofia antiga e medieval com relação ao infinito real e potencial, bem como a educação religiosa precoce, o que os pais lhe deram. Em 1883, em seu livro "Fundamentos da teoria geral dos conjuntos" Kantor combinou seu conceito da metafísica de Platão.

Kronecker também, que afirmou que "não são" apenas números inteiros ( "Deus criou os inteiros, o resto – o trabalho do homem"), por muitos anos rejeitou fortemente seus argumentos e impediu sua nomeação para a Universidade de Berlim.

números transfinitos

Em 1895-1897 gg. Georg Cantor totalmente formado a sua ideia de continuidade e infinito, incluindo uma seqüência de números e cardeais intermináveis, em sua obra mais famosa, publicado sob o título "Contribuição para a teoria dos números transfinitos" (1915). Este trabalho inclui a sua concepção, para a qual ele levou uma demonstração de que um conjunto infinito pode ser entregue em uma correspondência de um-para-um com um dos seus subconjuntos.

O número cardinal transfinito menor que ele quis dizer o poder de qualquer conjunto, que podem ser colocados em correspondência um-para-um com os números naturais. Kantor descreveu seu aleph-zero. Grande pluralidade transfinito Alef-designado um, dois ou Aleph-t. D. É desenvolvido ordinais aritméticos, o que foi semelhante para a aritmética finito. Assim, ele enriqueceu o conceito de infinito.

A oposição que ele enfrentou, e o tempo que levou para garantir que suas idéias foram totalmente aceito, explicou as complexidades da reavaliação da antiga questão sobre o que é o número. Kantor mostrou que um conjunto de pontos sobre a linha tem uma capacidade maior do que Aleph-zero. Isto levou ao problema bem conhecido da hipótese do contínuo – há cardeais entre aleph-zero e há pontos de energia na linha. Este problema na primeira e segunda metade do século 20 é de grande interesse e tem sido estudado por muitos matemáticos, em Vol. H. Kurt Gödel e Paul Cohen.

depressão

Biografia Georga Kantora 1884 foi marcado por sua doença mental incipiente, mas ele continuou a trabalhar ativamente. Em 1897, ele ajudou a realizar o primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, em Zurique. Em parte porque ele se opôs à Kronecker, muitas vezes ele simpatizava com os jovens matemáticos de brotamento e tentou encontrar uma maneira de salvá-los do assédio por professores que se sentem ameaçados por novas ideias.

reconhecimento

Na virada do século a sua obra foi integralmente reconhecido como base para a teoria das funções, análise e topologia. Além disso, Kantora Georga livro serviu como um impulso para o desenvolvimento da escola formalista e intuitionist de fundamentos lógicos da matemática. Isso mudou significativamente o sistema de ensino e é freqüentemente associada com a "nova matemática".

Em 1911, Cantor estava entre os convidados para a celebração dos 500 anos da Universidade de St Andrews, na Escócia. Ele foi lá na esperança de encontrar Bertrand Russell, que em seu trabalho recentemente publicado Principia Mathematica repetidamente referido o matemático alemão, mas isso não aconteceu. Universitária Cantor um grau honorário, mas devido a doença era incapaz de aceitar o prêmio em pessoa.

Cantor se aposentou em 1913 e viveu na pobreza e fome durante a Primeira Guerra Mundial. Festas em honra do seu 70º aniversário em 1915 foram cancelados por causa da guerra, mas uma pequena cerimônia foi realizada em sua casa. Ele morreu em 1918/01/06, em Galle, em um hospital psiquiátrico, onde passou os últimos anos de sua vida.

Georg Cantor: A Biography. família

09 de agosto de 1874, o matemático alemão casado Valli Gutman. O casal teve 4 filhos e 2 filhas. O último filho nasceu em 1886 em Cantor comprou uma nova casa. Sustentar a família ajudou o legado de seu pai. A saúde de Cantor afetou muito a morte de seu filho mais novo em 1899 – uma vez que nunca deixou a depressão.