Diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras: Exemplos, descrição e comentários

Uma coisa é certa cem por cento que a questão, que é igual ao quadrado da hipotenusa, qualquer adulto responder com ousadia: "a soma dos quadrados dos catetos." Este teorema é firmemente preso nas mentes de cada pessoa educada, mas você acabou de pedir a alguém para prová-lo, e pode haver dificuldades. Portanto, lembremo-nos e considerar diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras.

Uma visão geral da biografia

O teorema de Pitágoras é familiar a quase todos, mas por alguma razão, a vida humana, o que tornou a luz, não é tão popular. Esta é corrigível. Portanto, antes de explorar as diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras, devemos brevemente familiarizado com a sua personalidade.

Pitágoras – filósofo, matemático, filósofo originária da Grécia antiga. Hoje é muito difícil distinguir sua biografia das lendas que foram estabelecidos na memória deste grande homem. Mas resulta das obras de seus seguidores, Pifagor Samossky nasceu na ilha de Samos. Seu pai era um pedreiro normal, mas sua mãe veio de uma família nobre.

Segundo a lenda, o nascimento de Pitágoras previsto mulher chamada Pítia, em cuja honra e nomeou o menino. De acordo com sua previsão de nascimento de um menino traria uma série de benefícios e bondade para a humanidade. Que na verdade ele fez.

O nascimento do teorema

Em sua juventude, Pitágoras passou de Samos ao Egito para se reunir com os sábios egípcios conhecidos. Após o encontro com eles, ele foi admitido na formação, e sabia onde todas as grandes realizações da filosofia egípcia, matemática e medicina.

Foi provavelmente no Egipto Pitágoras inspirados pela majestade ea beleza das pirâmides e criou sua grande teoria. Ele pode chocar os leitores, mas os historiadores modernos acreditam que Pitágoras não provar sua teoria. E só transmitiu o seu conhecimento de seguidores que mais tarde concluídos todos os cálculos matemáticos necessários.

Fosse o que fosse, sabe-se agora mais do que um método de prova deste teorema, mas vários. Hoje só podemos imaginar como os gregos fizeram seus cálculos, por isso há maneiras diferentes de olhar para a prova do teorema de Pitágoras.

teorema de Pitágoras

Antes de iniciar qualquer cálculo, você precisa descobrir qual a teoria de provar. O teorema de Pitágoras é: "Em um triângulo em que um dos ângulos é ^{de cerca de} 90, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa."

No total, há 15 maneiras diferentes para provar o teorema de Pitágoras. Este é um valor bastante elevado, então preste atenção a mais popular deles.

um método

Primeiro, denotamos que nos é dado. Estes dados serão alargadas a outros métodos de prova do teorema de Pitágoras, por isso é certo para lembrar todas as designações existentes.

Suponha dado triângulo retângulo com as pernas um, e uma hipotenusa igual a c. O primeiro método é baseado na evidência de que, por causa de um triângulo retângulo necessário para terminar a praça.

Para fazer isso, você precisa de um comprimento da perna de um segmento igual a terminar uma perna, e vice-versa. Por isso, deve ter dois lados iguais do quadrado. Nós só pode desenhar duas linhas paralelas, e da praça está pronto.

No interior, os números resultantes precisa desenhar outro quadrado com um lado igual a hipotenusa do triângulo original. Para este fim, os vértices de corrente alternada e a comunicação é necessária para desenhar dois segmentos iguais com paralelo. Assim, a obtenção de três lados de um quadrado, um dos quais é o original é rectangular triângulos a hipotenusa. Docherty permanece apenas o quarto segmento.

Com base no padrão resultante pode concluir-se que a área exterior do quadrado é igual a (a + b) ^2. Se você olhar para os números, você pode ver que em adição ao quadrado interno tem quatro triângulos retângulos. A área de cada um é 0,5av.

Portanto, a área é igual a: 4 * 0,5av + c ² = ^a2 + 2AV

Assim, (a + b) ² = c ² + 2AV

E, por conseguinte, com um ² = ² + ²

Isto prova o teorema.

Método dois: triângulos semelhantes

Esta fórmula é a prova do teorema de Pitágoras foi derivado na base da aprovação da geometria da secção destes triângulos. Ele afirma que as pernas de um triângulo retângulo – o proporcional média para sua hipotenusa eo comprimento da hipotenusa, que emana do vértice ^90.

Os dados iniciais são os mesmos, então vamos começar imediatamente com a prova. Desenhar perpendicular para o lado do segmento AB CD. Com base na homologação acima pernas de triângulos são iguais:

AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.

Para responder à pergunta de como provar o teorema de Pitágoras, a prova deve ser encaminhado por quadratura ambas as desigualdades.

AC ² = AB * BP e CB ² = AB * DV

Agora você precisa adicionar até a desigualdade resultante.

UA ² + ² CB = * AB (BP * ET) onde BP = AB + ET

Acontece que:

AC ² + ² = CB AB * AB

E, portanto:

UA ² + ² CB = AB ²

A prova do teorema de Pitágoras e as diferentes formas de sua solução precisa ser abordagem multifacetada para este problema. No entanto, esta opção é um dos mais simples.

Um outro método de cálculo

Descrição de maneiras diferentes para provar o Teorema de Pitágoras pode ser nada a dizer, enquanto a maioria não eles próprios começaram a praticar. Muitas das técnicas envolvem não só matemática, mas também a construção das novas figuras originais triângulo.

Neste caso é necessário terminar a perna BC de outro triângulo retângulo a TIR. Portanto, agora existem dois triângulos com a perna Sun. comum

Sabendo-se que as áreas de figuras semelhantes têm um rácio como os quadrados das suas dimensões lineares semelhantes, em seguida:

S * _ABC ² – S ² * _HPA = S * e _AVD ² – S ² * um _VSD

_Abc * S ⁽² -C ²⁾ = ² * (S _AVD -S _VVD)

-a ^{2 2} = ^a2

² = a ² + ²

Por causa dos diferentes métodos de prova do teorema de Pitágoras para a 8ª série, esta opção é pouco adequado, você pode usar o procedimento a seguir.

A maneira mais fácil de provar o teorema de Pitágoras. comentários

Acredita-se por historiadores, este método foi usado pela primeira vez para a prova do teorema na Grécia antiga. Ele é o mais fácil, uma vez que não requer absolutamente nenhum pagamento. Se você desenhar uma imagem corretamente, a prova da afirmação de que um ² + ² = c ^2, ele vai ser visto claramente.

Termos e condições para este processo será um pouco diferente da anterior. Para provar o teorema, suponhamos que o triângulo retângulo ABC – isósceles.

Hipotenusa AC assumir a direção da praça e docherchivaem seus três lados. Além disso, é necessário gastar duas linhas diagonais para formar um quadrado. Assim, para obter quatro triângulos equiláteros dentro dela.

Por Catete AB e CD, conforme necessário Docherty na praça e segure em uma linha diagonal em cada um deles. Desenhar uma linha a partir do primeiro vértice A, uma segunda – a partir de C.

Agora, precisamos ter um olhar mais atento sobre a imagem resultante. Como a hipotenusa AC é de quatro triângulos iguais ao original, mas em Catete dois, ele fala sobre a veracidade deste teorema.

By the way, graças a esta técnica, a prova do teorema de Pitágoras, e nasceu a famosa frase: "calças de Pitágoras em todas as direções são iguais"

J. prova. Garfield

Dzheyms Garfild – o Presidente XX dos Estados Unidos da América. Além disso, ele deixou sua marca na história como o governante dos Estados Unidos, ele também era um autodidata dotado.

No início de sua carreira, ele era um professor regular na escola popular, mas logo se tornou o diretor de uma das instituições de ensino superior. O desejo de auto-desenvolvimento e permitiu-lhe propor uma nova teoria da prova do teorema de Pitágoras. Teorema e um exemplo da sua solução é como se segue.

Primeiro é necessário para desenhar no papel de dois triângulo retângulo de modo que uma perna de que era uma continuação do último. Os vértices destes triângulos deve ser conectado a acabar ficando um trapézio.

Como é conhecido, a área de um trapézio é igual ao produto do meio-montante de sua base e a altura.

S = a + b / 2 * (a + b)

Se considerarmos o trapézio resultante, como uma figura constituída por três triângulos, sua área pode ser encontrada como segue:

S = W / 2 * 2 + ^2/2

Agora é necessário para igualar os dois expressão original

2AV / 2 + c / 2 = (a + b) ^2/2

² = a ² + ²

Sobre Pitágoras e como provar que você não pode escrever um livro único volume. Mas isso faz sentido quando esse conhecimento não pode ser aplicada na prática?

aplicação prática do teorema de Pitágoras

Infelizmente, no currículo escolar moderna prevê a utilização deste teorema apenas em problemas geométricos. Graduados em breve deixar os muros da escola, e não saber, e como eles podem aplicar os seus conhecimentos e habilidades em prática.

Na verdade, para usar o teorema de Pitágoras em sua vida diária pode cada. E não só na actividade profissional, mas também em tarefas domésticas comuns. Considere alguns casos em que o teorema de Pitágoras e como para provar isso pode ser extremamente necessário.

teoremas de comunicação e astronomia

Parece que eles podem ser ligados às estrelas e triângulos no papel. Na verdade, a astronomia – uma área científica em que amplamente utilizado o teorema de Pitágoras.

Por exemplo, considere o movimento do feixe de luz no espaço. Sabe-se que a luz viaja em ambas as direcções com a mesma velocidade. AB trajetória, o que move o feixe de luz é chamado l. E metade do tempo necessário para a luz para ir do ponto A ao ponto B, chamamos t. E a velocidade do feixe – c. Acontece que: c * t = l

Se você olhar para este mesmo feixe de outro avião, por exemplo, uma nave espacial, que se move com uma velocidade v, então sob tais órgãos de supervisão vai mudar a sua velocidade. No entanto, mesmo os elementos fixos vai mover-se com uma velocidade v no sentido oposto.

Suponha forro quadrinhos flutuante direita. Em seguida, os pontos A e B, o qual é dividido entre o feixe move-se para a esquerda. Além disso, quando o feixe se move do ponto A para o ponto B, ponto A, o tempo para se mover, e, em conformidade, a luz veio um novo ponto C. Para encontrar a metade da distância em que o ponto A se desloca, é necessário multiplicar a velocidade do navio em metade o tempo de viagem do feixe (t ').

d = t '* v

E para encontrar o quão longe nesse tempo foi capaz de passar um feixe de luz é necessária para marcar o ponto médio da nova faia s e a seguinte expressão:

s = c t * '

Se imaginarmos que o ponto de luz C e B, bem como a nave espacial – é o topo de um triângulo isósceles, o segmento a partir do ponto A para o forro vai dividi-lo em dois triângulos retângulos. Portanto, graças ao teorema de Pitágoras pode encontrar a distância que foi capaz de passar um feixe de luz.

s = l ^{2 2} + d ²

Este exemplo é, naturalmente, não é o melhor, porque só alguns podem ter a sorte de experimentá-lo em prática. Por isso, consideramos as aplicações mais mundanas deste teorema.

transmissão de sinal de celular Radius

A vida moderna é impossível imaginar sem a existência do smartphone. Mas quantos deles teria que proc se fossem incapazes de se conectar assinantes através do celular!

qualidade das comunicações móveis depende diretamente a altura em que a antena para ser a operadora de telefonia móvel. A fim de descobrir como longe das torres de telefonia móvel pode receber o sinal, você pode usar o teorema de Pitágoras.

Suponha que você queira encontrar a altura aproximada de uma torre fixa, de modo que possa distribuir o sinal em um raio de 200 quilômetros.

AB (altura da torre) = x;

Sun (raio de Sinais) = 200 km;

OC (raio da Terra) = 6380 km;

aqui

OB = OA + AVOV = r + x

Aplicando o teorema de Pitágoras, vamos descobrir o que a altura mínima torre deve ser de 2,3 quilômetros.

teorema de Pitágoras em casa

Curiosamente, o teorema de Pitágoras pode ser útil, mesmo em assuntos domésticos, tais como a determinação da altura do compartimento do armário, por exemplo. À primeira vista, não há necessidade de usar tais cálculos complexos, porque você pode apenas tomar suas medidas com uma fita métrica. Mas muitos se perguntam por que o processo de construção existem alguns problemas, se todas as medidas foram tomadas sobre exatamente.

O facto é que o armário vai em uma posição horizontal e então levantados e montado na parede. Por conseguinte, a parede lateral do armário no processo de levantamento o desenho devem fluir livremente e em altura, e espaços diagonais.

Suponha que você tem um guarda-roupa de profundidade 800 mm. A distância do chão até o teto – 2600 mm. marceneiro experiente diz que a altura do gabinete deve ser de 126 mm menor que a altura da sala. Mas por que 126 milímetros? Considere o seguinte exemplo.

Sob dimensões ideais do gabinete irá verificar a ação do Teorema de Pitágoras:

√AV AC = ² + ² √VS

UA = √2474 ² 800 ² = 2600 mm – todos convergem.

Digamos, a altura do gabinete não é igual a 2474 mm e 2505 mm. então:

UA = √2505 ² + √800 = 2,629 milímetros ^2.

Consequentemente, este gabinete não é adequado para instalação na sala. Desde quando pegou sua posição vertical pode causar danos ao seu corpo.

considerado Talvez as diferentes maneiras de provar o Teorema de Pitágoras por diferentes cientistas, podemos concluir que é mais do que verdadeiro. Agora você pode usar as informações em suas vidas diárias, e estar absolutamente certo de que todos os cálculos não são apenas úteis, mas também é verdade.