Diferenciais – o que é isso? Como encontrar o diferencial da função?

Juntamente com derivados suas funções diferenciais – IT alguns dos conceitos básicos do cálculo diferencial, a seção principal da análise matemática. Como intimamente ligadas, ambas deles vários séculos amplamente utilizado na resolução de quase todos os problemas que surgiram no curso da atividade científica e técnica.

O surgimento do conceito de diferencial

Pela primeira vez, deixou claro que um diferencial tal, um dos fundadores (junto com Isaakom Nyutonom) cálculo diferencial famoso matemático alemão gotfrid Vilgelm Leybnits. Antes que os matemáticos do século 17. usado idéia muito incerto e vago de alguns "indivisível" infinitesimal de qualquer função conhecida, o que representa um valor muito pequeno constante, mas não é igual a zero, abaixo do qual valoriza a função não pode ser simplesmente. Por isso, foi de apenas um passo para a introdução de noções de incrementos infinitesimais de argumentos da função e seus respectivos incrementos das funções que podem ser expressas em termos de derivados deste último. E este passo foi dado quase simultaneamente os dois acima grandes cientistas.

Com base na necessidade de abordar urgentes problemas mecânicos práticos que confrontam ciência em rápido desenvolvimento da indústria e da tecnologia, Newton e Leibniz criou as formas mais comuns de encontrar as funções da taxa de mudança (especialmente no que diz respeito à velocidade mecânica do corpo da trajetória conhecida), o que levou à introdução de tais conceitos, como a função derivada e o diferencial, e descobriram também que as soluções para os problemas algoritmo inverso como conhecido per se (variável) velocidades percorrido para encontrar o caminho que levou ao conceito de integrante Ala.

Nas obras de ideia de Leibniz e Newton princípio parecia que os diferenciais – é proporcional ao incremento dos argumentos básicos ÔH incrementa funções? U que podem ser aplicados com sucesso para calcular o valor do último. Em outras palavras, eles descobriram que uma função de incremento pode ser em qualquer ponto (dentro do seu domínio de definição) é expressa através do seu derivado tanto? U = y '(x)? H + αΔh onde α ÔH – restante, que tende para zero como ÔH → 0, muito mais rápido do que o SH real.

De acordo com os fundadores da análise matemática, os diferenciais – este é exatamente o primeiro mandato em incrementos de quaisquer funções. Mesmo sem ter um limite de sequências conceito claramente definidas são entendidas intuitivamente que o valor diferencial do derivado tende a funcionar quando ÔH → 0 -? U / ÔH → y '(x).

Ao contrário de Newton, que era principalmente um físico e aparato matemático considerado como uma ferramenta auxiliar para o estudo de problemas físicos, Leibniz prestado mais atenção a este conjunto de ferramentas, incluindo um sistema de símbolos visuais e compreensíveis valores matemáticos. Foi proposto que ele a notação padrão de diferenciais de função dy = y '(x) dx, dx, e a derivada da função argumento como a sua relação y' (x) = dy / dx.

A definição moderna

Qual é o diferencial em termos de matemática moderna? Ele está intimamente relacionado com o conceito de um incremento variável. Se a variável y tem um primeiro valor de y y = _1, então Y = Y _2, a diferença y ₂ ─ y _um é chamado o valor de incremento y. O incremento pode ser positivo. negativo e zero. A palavra "incremento" é designado Δ,? U gravação (leia 'delta y') denota o valor do incremento y. assim? u = y ₂ ─ y _1.

Se o valor? U função arbitrária y = (x) f pode ser representada como? U = A? H + α, onde A é nenhuma dependência em? H, t. E. A = const para o dado x, e o termo α quando ÔH → 0 tende a é ainda mais rápido do que o real? H, em seguida, o primeiro ( "master") um termo proporcional ÔH, e é para (x) y = f diferencial, denotada dy ou df (x) (ler "y de", "de ef de X"). Portanto diferenciais – um linear "principal" no que diz respeito aos componentes de incrementos funções? H.

explicação mecânica

Seja s = f (t) – a distância em linha recta movendo ponto de material a partir da posição inicial (t – tempo de viagem). Incremento Ds – é o ponto de caminho durante um intervalo de tempo? T, e os ds diferenciais = f '(t) At – este caminho, o qual ponto iria ser realizada durante o mesmo tempo At, se manteve a velocidade de f (t), alcançado no tempo t . Quando um Dt ds caminho imaginário infinitesimal difere dos Ds reais infinitamente tendo uma ordem mais elevada em relação à Dt. Se a velocidade no instante t não é igual a zero, os ds valor aproximado dá pequeno ponto de polarização.

interpretação geométrica

Deixe que a linha L representa o gráfico de y = f (x). Então Δ x = MQ,? U = QM '(ver. Figura abaixo). Tangente MN quebra? U cortar em duas partes, e QN NM'. Primeira e ÔH é proporcional QN = MQ ∙ tg (QMN ângulo) =? H f (x), t. E QN é diferencial dy.

A segunda parte da diferença? U NM'daet ─ dy, quando ÔH comprimento → 0 NM 'diminui ainda mais rápido do que o incremento do argumento, ou seja, tem o fim de pequenez maior do que ÔH. Neste caso, se '(x) * 0 (tangentes não paralela OX) segmentos de f QM'i QN equivalentes; em outras palavras NM 'diminui rapidamente (a fim de pequenez da sua mais elevada) do que o incremento total de? u = QM'. Isto é evidente na figura (que se aproxima do segmento M'k M NM'sostavlyaet todos menor percentagem segmento QM').

Então, diferencial graficamente função arbitrária é igual ao incremento da ordenada da tangente.

Derivado e diferencial

Um factor no primeiro termo da expressão função de incremento é igual ao valor do seu derivado f '(x). Assim, a seguinte relação – dy = f (x)? H ou df (x) = f (x)? H.

Sabe-se que o incremento do argumento independente é igual ao seu diferencial? H = dx. Assim, podemos escrever: f '(x) dx = dy.

Encontrar (às vezes diz-se que a "decisão") diferenciais é realizada pelas mesmas regras que para os derivados. Uma lista deles é dado abaixo.

O que é mais universal: o incremento do argumento ou seu diferencial

Aqui é necessário fazer alguns esclarecimentos. Representação valor f '(x) diferencial SH possível quando considerando x como um argumento. Mas a função pode ser um complexo, em que x pode ser uma função do argumento t. Em seguida, a representação da expressão diferencial de f (x)? H, como uma regra, é impossível; excepto no caso de dependência linear x = a + b.

Tal como para a fórmula f (x) dx = dy, em seguida, no caso de argumento x independente (então dx =? H) no caso da dependência paramétrico de x t, é diferencial.

Por exemplo, a expressão 2 x ÔH é para y = x ² sua diferencial quando x é um argumento. Agora x = t ² e assumir argumento t. Em seguida, y = x ² = ^t4.

Isto é seguido por (t + At) ² = T + ^2? T + 2tΔt ^2. Daí ÔH = 2tΔt +? T ^2. Assim: 2xΔh = 2t ² (2tΔt +? T ^2).

Esta expressão não é proporcional à Dt, e, por conseguinte, é agora 2xΔh não é diferencial. Ela pode ser encontrada a partir da equação y = x ² = ^t4. É igual dy = 4t ³ Dt.

Se tomarmos o 2xdx expressão, que é o diferencial y = x ² para qualquer argumento t. Com efeito, quando x = ² t obter dx = 2tΔt.

Assim 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Os diferenciais de express gravados por duas variáveis diferentes coincidem.

Substituindo incrementos diferenciais

Se f (x) ≠ 0, em seguida,? U e equivalente dy (quando ÔH → 0); Se f (x) = 0 (sentido e dy = 0), elas não são equivalentes.

Por exemplo, se y = x ^2, em seguida,? U = (x +? H) ² ─ x ² = 2xΔh +? H ² e dy = 2xΔh. Se x = 3, então temos? U = 6Δh +? H ² e dy = 6Δh que são equivalentes devido? H ² → 0, quando x = 0 valor? U =? H ² e dy = 0 não são equivalentes.

Este facto, em conjunto com a estrutura simples do diferencial (m. E. linearidade em relação à ÔH), é frequentemente utilizado em cálculo aproximado, no pressuposto de que DY? U ≈ para pequeno ÔH. Encontre a função diferencial é geralmente mais fácil do que para calcular o valor exato do incremento.

Por exemplo, temos cubo metálico com bordo x = 10,00 cm. No aquecimento a borda alongada na ÔH = 0,001 cm. Como o aumento do volume cubo V? Nós temos V = x ^2, de modo que dV = 3x ² = 3? H ∙ ∙ ¹⁰ de fevereiro 0/01 = 3 ^{(3 cm).} Aumento? V dV equivalente diferencial, de modo que AV = 3 ^cm3. cálculo completo daria ^3? V = 10,01 ─ ¹⁰ de março = 3,003001. Mas o resultado de todos os dígitos, exceto o primeiro não confiável; portanto, ainda é necessário arredondar para 3 ^cm3.

Obviamente, esta abordagem é útil apenas se for possível estimar o valor transmitido com o erro.

função diferencial: exemplos

Vamos tentar encontrar o diferencial da função y = x ^3, encontrar o derivado. Vamos dar o incremento argumento? U e definir.

? U = (x? H +) ³ ─ x ³ = 3x ² + ÔH (ÔH 3xΔh ² + ^3).

Aqui, o coeficiente A = 3x ² não depende? H, de modo que o primeiro termo é proporcional? H, o outro membro 3xΔh? H ² + ³ quando? H → 0 diminui mais rapidamente do que o incremento do argumento. Por conseguinte, um membro de 3x ² ÔH é o diferencial de y = x ^3:

dy = 3x ^2? H = 3x ² dx ou d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Em que d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Nós agora encontrar a função y = 1 / x pelo derivado. Em seguida, d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Portanto dy = ─ ÔH / x ^2.

Diferenciais algébricas funções básicas são dadas abaixo.

Cálculos aproximados usando diferencial

Para avaliar a função f (x), e sua derivada f '(x) em x = a é muitas vezes difícil, mas para fazer o mesmo na vizinhança de x = a não é fácil. Em seguida, vêm em auxílio da expressão aproximada

f (a + ÔH) ≈ f '(a)? H + f (a).

Isto dá um valor aproximado da função em pequenos incrementos, por meio de sua diferencial ÔH f '(a)? H.

Portanto, esta fórmula proporciona uma expressão aproximada para a função no ponto final de uma porção de um comprimento? H como uma soma do valor no ponto da porção (x = a) e o diferencial no mesmo ponto de partida de partida. Precisão do método para determinar os valores da função abaixo ilustra o desenho.

No entanto conhecida e a express exacta para o valor da função de x = a + ÔH dada por incrementos finitos fórmula (ou, alternativamente, de uma fórmula de Lagrange)

f (a + ÔH) ≈ f '(ξ) ÔH + f (a),

onde o ponto x = a + ξ está no intervalo de x = a a x = a + ÔH, embora a sua posição exacta é desconhecida. A fórmula exata permite avaliar o erro da fórmula aproximada. Se colocarmos na fórmula Lagrange ξ =? H / 2, embora ela deixa de ser preciso, mas dá, via de regra, uma abordagem muito melhor do que a expressão original em termos de diferencial.

fórmulas de avaliação diferencial de erro através da aplicação

Instrumentos de medição , em princípio, imprecisa, e trazer para os dados de medição correspondentes ao erro. Eles são caracterizados por limitar o erro absoluto, ou, em resumo, o erro de limite – positivo, excedendo claramente o erro de valor absoluto (ou, no máximo, igual a ele). Limitando o erro relativo é chamado o quociente obtido pela divisão pelo valor absoluto do valor medido.

Deixe exacta fórmula y = f (x) função utilizada para vychislyaeniya y, mas o valor de x é o resultado da medição, e, por conseguinte, o erro traz y. Em seguida, para encontrar a limitar erro absoluto │Δu│funktsii y, utilizando a fórmula

│Δu│≈│dy│ = │ f (x) ││Δh│,

onde │Δh│yavlyaetsya argumento de erro marginal. │Δu│ quantidade deve ser arredondado para cima, como cálculo em si imprecisa é a substituição do incremento no cálculo diferencial.