A hipótese de Riemann. Distribuição dos números primos

Em 1900, um dos maiores cientistas do século passado, David Hilbert fez uma lista composta por 23 problemas não resolvidos da matemática. Trabalhar com eles tem tido um enorme impacto sobre o desenvolvimento deste campo do conhecimento humano. Depois de 100 anos no Instituto de Matemática argila apresentou uma lista de sete problemas, conhecidos como os objetivos do Milênio. Para a decisão de cada um deles foi oferecido o prêmio de US $ 1 milhão.

O único problema, que estava entre as duas listas de quebra-cabeças, há séculos não dar descanso para os cientistas, tornou-se a hipótese de Riemann. Ela ainda está à espera de sua decisão.

breves informações biográficas

Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826 em Hanover, em uma grande família de um pastor pobre, e viveu apenas 39 anos de idade. Ele conseguiu publicar 10 artigos. No entanto, durante a vida de Riemann ele considerava um sucessor de seu professor Johann Gauss. Aos 25 anos, jovem cientista defendeu sua tese "Fundações da teoria de funções de uma variável complexa." Mais tarde ele formulou sua hipótese, que se tornou famoso.

primes

Matemática veio quando o homem aprendeu a contar. Em seguida, surgiu a primeira ideia dos números, que mais tarde tentaram classificar. Foi observado que alguns deles têm propriedades comuns. Em particular, entre os números naturais m. E. aquelas que foram utilizados no cálculo (numeração) ou o nero designado de artigos tem sido atribuída a um grupo de tais que são divididos por apenas uma e-se. Eles foram chamados simples. Um elegante prova do teorema conjunto infinito de números dados por Euclides em seus "Elementos". No momento, estamos a continuar sua busca. Em particular, a maior de um número de conhecidas ² 74207281 – 1.

A fórmula de Euler

Junto com a noção de infinitos números primos Euclides definido e o segundo teorema a única fatoração possível. De acordo com ele qualquer inteiro positivo é o produto de apenas um conjunto de números primos. Em 1737, o grande matemático alemão Leonhard Euler expressa primeiro do teorema de Euclides no infinito da fórmula mostrada abaixo.

Ele é chamado a função zeta, onde s – uma constante e P é tudo valores simples. De la diretamente seguido e aprovação da singularidade da expansão de Euclides.

Função zeta de Riemann

fórmula de Euler numa análise mais aprofundada é bastante notável, como determinado pela razão entre a simples e inteiros. Afinal, em seu lado esquerdo são multiplicados infinitamente muitas expressões que dependem apenas simples, e na quantidade certa é associado com todos os inteiros positivos.

Riemann passou Euler. A fim de encontrar a chave para o problema da distribuição dos números, propõe-se definir a fórmula para a variável real e complexa. Foi ela que mais tarde ficou conhecido como a função zeta de Riemann. Em 1859, o cientista publicou um artigo intitulado "Sobre o número de primos que não excedem um valor predeterminado", que resumiu todas as suas idéias.

Riemann propõe o uso de um número de Euler, convergente para todos os s reais> 1. Se a mesma fórmula é utilizada para s complexos, então a série irá convergir para qualquer valor da variável com a parte real é maior do que 1. Riemann usou a continuação analítica do processo, expandindo a definição de zeta (s) para todos os números complexos, mas "jogar" unidade. Não foi possível, porque se s = 1 zeta função aumenta até ao infinito.

sentido prático

Surge a pergunta: Qual é a função zeta interessante e importante, que é crucial para o trabalho de Riemann na hipótese nula? Como você sabe, no momento não encontrou um padrão simples que descreve a distribuição de números primos entre o natural. Riemann capaz de detectar que o número de pi (x) de números primos, que não são superiores a x, é expressa pela distribuição de função zero zeta não trivial. Além disso, a hipótese de Riemann é uma condição necessária, a fim de provar que as avaliações temporárias de determinados algoritmos criptográficos.

A hipótese de Riemann

Uma das primeiras formulações deste problema matemático, não comprovada até hoje, é: trivial função 0 zeta – números complexos com parte real igual a ½. Em outras palavras, eles são dispostos sobre uma linha recta Re s = ½.

Há também uma hipótese de Riemann generalizada, que é a mesma declaração, mas para a generalização das zeta-funções, que são chamadas a Dirichlet (ver. Foto abaixo) L-funções.

Na fórmula χ (n) – um carácter numérica (mod k).

A declaração de Riemann é a chamada hipótese nula, como foi verificado para consistência com os dados de amostra existentes.

Como argumentei Riemann

Nota matemático alemão foi originalmente formulada muito casualmente. O fato é que, naquela época o cientista estava indo para provar um teorema sobre a distribuição dos números primos, e, neste contexto, esta hipótese não tem muito efeito. No entanto, o seu papel na resposta aos muitos outros assuntos é enorme. É por isso que a hipótese de Riemann por agora muitos cientistas reconhecem a importância de problemas matemáticos não comprovadas.

Como já foi dito, para provar o teorema sobre a distribuição da hipótese completo Riemann não é necessário, e logicamente provar que a parte real de qualquer não-trivial zero da função zeta é entre 0 e 1. Esta propriedade implica que a soma de todas 0-m função zeta que aparecem na fórmula exata acima, – finito constante. Para grandes valores de x, tudo pode ser perdido. O único membro da fórmula, que se mantêm inalteradas, mesmo a muito altas x, x é ele mesmo. O restante dos termos complexos em comparação com ele asymptotically desaparecer. Assim, a soma pesada tende para x. Este fato pode ser considerado como prova da verdade do teorema do número primo. Assim, os zeros da função Riemann zeta parece um papel especial. É para provar que esses valores não podem contribuir significativamente para a fórmula de expansão.

seguidores de Riemann

A trágica morte de tuberculose impediu que o cientista trazer para o fim lógico do programa. No entanto, ele tomou o bastão do W-F. de la Vallée Poussin e Zhak Adamar. Independentemente um do outro tinham retirado teorema do número primo. Hadamard e Poussin conseguiu provar que toda a função 0 zeta não trivial estão localizados dentro da banda crítica.

Graças ao trabalho desses cientistas, um novo ramo da matemática – teoria analítica dos números. Mais tarde, outros pesquisadores receberam um pouco de prova mais primitivo do teorema estava trabalhando em Roma. Em particular, Pal Erdös e Atle Selberg abriram mesmo confirmando sua cadeia altamente complexo da lógica, não requerem o uso de análise complexa. No entanto, neste momento a idéia de Riemann por vários teoremas importantes foram comprovadas, incluindo a aproximação das muitas funções da teoria dos números. Em conexão com este novo trabalho Erdős e Atle Selberg praticamente qualquer coisa que não foi afectada.

Uma das evidências mais simples e mais bonita do problema foi encontrado em 1980 por Donald Newman. Foi baseado no teorema de Cauchy bem conhecido.

Ameaçada se a hipótese de Riemann é a base da criptografia moderna

A encriptação de dados surgiu com o aparecimento de personagens, ou melhor, eles próprios podem ser considerados como o primeiro código. No momento, há toda uma nova tendência de criptografia digital, que está envolvida no desenvolvimento de algoritmos de criptografia.

Simples e "semisimples" número m. E. Aqueles que só são divididos em dois outros números da mesma classe, são a base de um sistema de chave pública, conhecido como RSA. Ele tem uma ampla aplicação. Em particular, ele é usado na geração de uma assinatura electrónica. Se falarmos em termos de "bule" disponíveis, a hipótese de Riemann afirma a existência do sistema na distribuição de números primos. Assim, reduziu significativamente a resistência de chaves criptográficas, da qual depende a segurança de transações on-line em e-commerce.

Outros problemas matemáticos não resolvidos

artigo completo é pena dedicar algumas palavras para outras tarefas do milênio. Estes incluem:

• Igualdade das classes P e NP. O problema é formulado como segue: se uma resposta positiva a uma determinada questão é verificada em tempo polinomial, então é verdade que ele mesmo a resposta a esta pergunta pode ser encontrada rapidamente?
• conjectura Hodge. Em termos simples, pode-se afirmar o seguinte: para alguns tipos de variedades algébricas projetivas (espaços) ciclos de Hodge são combinações de objetos que têm uma interpretação geométrica, ou seja, ciclos algébricos …
• conjectura de Poincaré. É a única comprovada para os problemas momento do milênio. De acordo com ele qualquer objecto tridimensional tendo propriedades específicas da esfera 3-dimensional, a esfera deve ter uma precisão de deformação.
• Aprovação do quantum Yang – teoria Mills. Precisamos provar que a teoria quântica, apresentadas por estes cientistas para o espaço ^R4, há um defeito 0 em massa para qualquer simples de calibração de um grupo compacto G.
• A hipótese do Birch – Swinnerton-Dyer. Este é um outro problema que é relevante à criptografia. Trata-se das curvas elípticas.
• O problema da existência e suavidade de soluções das equações de Navier – Stokes.

Agora você sabe a hipótese de Riemann. Em termos simples, formulamos e alguns dos outros objectivos do milénio. O fato de que eles serão resolvidos ou se for provado que eles não têm nenhuma solução – é uma questão de tempo. E é improvável que isso tem que esperar muito tempo, como a matemática estão usando cada vez mais poder computacional de computadores. No entanto, nem tudo está sujeito à arte e para resolver problemas científicos requer principalmente intuição e criatividade.