Um sistema de equações algébricas lineares. sistema homogéneo de equações algébricas lineares

Na escola, cada um de nós estudou a equação e, certamente, o sistema de equações. Mas muitas pessoas não sabem que existem várias maneiras de resolvê-los. Hoje vamos ver exatamente todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares, que são compostas de mais de duas equações.

história

Hoje sabemos que a arte de resolver equações e seus sistemas de origem na antiga Babilônia e Egito. No entanto, a igualdade em sua forma familiar apareceu para nós após a ocorrência do sinal de igual "=", que foi introduzido em 1556 pelo registro matemático Inglês. By the way, este símbolo foi escolhido por uma razão: isso significa dois segmentos iguais paralelas. Na verdade, o melhor exemplo de igualdade não vir para cima.

O fundador do lettering moderno e símbolos de extensão desconhecida, o matemático francês Fransua Viet. No entanto, a sua designação é significativamente diferente do de hoje. Por exemplo, um quadrado de um número desconhecido ele designada pela letra Q ( "quadrado" lat.), E o cubo – (. Lat "cubus") a letra C. Estes símbolos agora parece desconfortável, mas depois foi a maneira mais intuitiva para escrever um sistema de equações algébricas lineares.

No entanto, uma desvantagem nos métodos predominantes da solução era que os matemáticos consideradas apenas as raízes positivos. Talvez isso se deva ao fato de que os valores negativos não têm qualquer aplicação prática. Uma forma ou outra, mas o primeiro a ser considerado raízes negativas começou após a matemática italiano Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Raphael Bombelli no século 16. Um olhar moderno, o principal método de resolver equações de segundo grau (através discriminante) foi estabelecida apenas no século 17 através dos trabalhos de Descartes e Newton.

No meio do matemático suíço do século 18 Gabriel Cramer encontrou uma nova maneira de fazer a solução de sistemas de equações lineares mais fáceis. Este método foi posteriormente nomeado após ele, e até hoje usamos. Mas no método da palestra de Kramer um pouco mais tarde, mas por agora vamos discutir equações lineares e suas soluções separadamente do sistema.

equações lineares

equações lineares – a equação mais simples com variável (s). Eles pertencem à algébrica. equações lineares escrito na forma geral como se segue: a ₁ * ₁ x + a ₂ x ₂ + _* … e _n * x _n = b. Envio do formulário vamos precisar na preparação de sistemas e matrizes diante.

Um sistema de equações algébricas lineares

A definição deste termo é: um conjunto de equações que têm incógnitas comuns e a solução geral. Normalmente, na escola todo resolvido um sistema com duas ou até três equações. Mas há sistemas com quatro ou mais componentes. Vamos ver primeiro como escrevê-los para baixo para que mais tarde era conveniente para resolver. Em primeiro lugar, o sistema de equações algébricas lineares ficará melhor se todas as variáveis são escritas como x com o índice correspondente: 1,2,3 e assim por diante. Em segundo lugar, deve conduzir todas as equações para a forma canónica: um ₁ * ₁ x + a ₂ x ₂ + _* … e _n * x _n = b.

Depois de todos estes passos, podemos começar a dizer-lhe como encontrar a solução de sistemas de equações lineares. Muito pelo que virá a matriz calhar.

matriz

Matrix – uma tabela que consiste em linhas e colunas, e seus elementos estão no seu cruzamento. Isso pode ser um valor ou variável específica. Na maioria dos casos, para designar elementos que estão dispostos por baixo dos subscritos (por exemplo, um poço ₁₁ ou _23). O primeiro índice indica o número de linha, e a segunda – a coluna. matrizes cima Como em cima e qualquer outro elemento matemático pode realizar várias operações. Assim, você pode:

1) Subtrair e adicionar o mesmo tamanho da tabela.

2) Multiplicar a matriz em qualquer número ou vector.

3) Transpor: transformar linhas da matriz nas colunas, e as colunas – em linha.

4) Multiplicar a matriz, se o número de linhas é igual a um deles um número diferente de colunas.

Para discutir em detalhe todas estas técnicas, como eles são úteis para nós no futuro. Subtração e adição de matrizes é muito simples. Desde que tomamos a mesma matriz de tamanho, cada elemento de uma tabela está relacionada com todos os outros elementos. Assim que adicionar (subtrair) dois desses elementos (é importante que eles estavam no mesmo terreno em suas matrizes). Quando multiplicado pelo número de matriz ou vector basta multiplicar cada elemento da matriz pelo que o número (ou vector). Transposição – um processo muito interessante. Muito interessante, por vezes, vê-lo na vida real, por exemplo, ao mudar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho é uma matriz, e com uma mudança de posição, é transposta e se torna mais amplo, mas diminui em altura.

Vamos examinar mais de um processo, como a multiplicação de matrizes. Embora ele nos disse, e não é útil, mas esteja ciente de que ainda é útil. Multiplicar duas matrizes podem ser de apenas sob a condição de que o número de colunas em uma tabela é igual ao número de outras linhas. Agora tomar uma linha de elementos de matriz e outros elementos da coluna correspondente. Multiplicá-las umas às outras e, em seguida, soma (isto é, por exemplo, um produto de elementos ₁₁ e ₁₂ e a ₁₂ e b ₂₂ b irá ser igual a: a * b _{11 12} + ₁₂ * b _{22 e).} Assim, um único elemento da tabela, e um método similar ao que é preenchido mais.

Agora podemos começar a considerar como resolver sistemas de equações lineares.

Gauss

Este tema começou a ter lugar na escola. Sabemos muito bem o conceito de "sistema de duas equações lineares" e saber como resolvê-los. Mas e se o número de equações é maior do que dois? Isso nos ajudará método de Gauss.

Claro, este método é conveniente usar, se você fizer uma matriz do sistema. Mas você não pode convertê-lo e decidir por conta própria.

Então, como resolvê-lo por um sistema de equações lineares Gauss? By the way, embora este método e nomeado após ele, mas descobriu-se nos tempos antigos. Gauss tem uma operação realizada com as equações, para, eventualmente, resultar na totalidade de forma escalonada. Ou seja, você precisa de cima para baixo (se colocar corretamente) da primeira para a última equação diminuiu um desconhecido. Em outras palavras, precisamos ter certeza de que nós temos, digamos, três equações: a primeira – três incógnitas, no segundo – duas no terceiro – um. Então, a partir da última equação, encontramos o primeiro desconhecido, substituir o seu valor na segunda ou a primeira equação, e encontrar ainda mais os dois restantes variáveis.

regra de Cramer

Para o desenvolvimento desta técnica é vital para dominar as habilidades de adição, subtração de matrizes, bem como a necessidade de ser capaz de encontrar determinantes. Portanto, se você está desconfortável fazendo isso todos ou não sei como, é necessário aprender e ser treinado.

Qual é a essência deste método, e como fazê-lo, para obter um sistema de equações lineares Cramer? É muito simples. Precisamos construir uma matriz de números (quase sempre) os coeficientes de um sistema de equações algébricas lineares. Para fazer isso, basta levar o número do desconhecido, e nós arranjamos uma mesa na ordem em que são registrados no sistema. Se antes que o número é um sinal "-", então nós escrevemos coeficiente negativo. Então, fizemos a primeira matriz dos coeficientes das incógnitas, não incluindo o número após o sinal de igual (é claro, que a equação tem que ser reduzido para a forma canônica quando o direito é apenas um número, e à esquerda – todas as incógnitas com coeficientes). Então você precisa fazer algumas matrizes – um para cada variável. Para este efeito, na primeira matriz é substituído por uma coluna de cada um, números de coluna com os coeficientes após o sinal de igual. Assim, temos algumas matrizes e, em seguida, encontrar os seus determinantes.

Depois que encontramos as eliminatórias, é pequeno. Nós temos uma matriz inicial, e existem várias matrizes derivadas, as quais correspondem a diferentes variáveis. Para obter uma solução de sistema, dividimos o determinante da tabela resultante no principal determinante da mesa. O número resultante é o valor de uma variável. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.

outros métodos

Existem vários métodos de modo a obter a solução de sistemas de equações lineares. Por exemplo, um assim chamado método de Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções do sistema de equações quadráticas, e também se relaciona com a utilização de matrizes. Há também um método de Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. Ele se adapta facilmente a todos os computadores e é usado em computação.

casos complicados

Complexidade geralmente ocorre se o número de equações é menor do que o número de variáveis. Então, podemos certamente dizer que, ou o sistema é inconsistente (ou seja, não tem raízes), ou o número de suas decisões tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso – é necessário para escrever a solução geral do sistema de equações lineares. Ele irá incluir, pelo menos, uma variável.

conclusão

Aqui chegamos ao fim. Para resumir: nós temos que entender o que a matriz do sistema, aprendi a encontrar a solução geral de um sistema de equações lineares. Além disso, consideramos outras opções. Descobrimos como para resolver sistemas de equações lineares: eliminação de Gauss e regra de Cramer. Nós conversamos sobre casos difíceis e outras formas de encontrar soluções.

Na verdade, esta questão é muito mais extensa, e se você quiser entender melhor isso, aconselhamo-lo a ler mais da literatura especializada.