A integral indefinida. Cálculo de integrais indefinidas

Uma das seções fundamentais da análise matemática é o cálculo integral. Ele abrange um amplo campo de objetos, onde o primeiro – é a integral indefinida. Posicione-se como uma chave que ainda está no ensino médio revela um número crescente de perspectivas e oportunidades, que descreve matemática superior.

aparência

À primeira vista, parece totalmente integral ao moderno, tópica, mas na prática verifica-se que ele voltou em 1800 aC. Casa para considerada oficialmente o Egito como não nos chegou evidências anteriores de sua existência. É devido à falta de informação, o tempo todo posicionados simplesmente como um fenômeno. Ele confirma mais uma vez o nível de desenvolvimento científico dos povos daqueles tempos. Finalmente, os trabalhos foram encontrados os antigos matemáticos gregos, que datam do século 4 aC. Eles descrevem o método utilizado onde o integral indefinida, a essência do que foi para encontrar o volume ou área de uma forma curvilínea (plano tridimensional e bidimensional, respectivamente). cálculo baseou-se no princípio da divisão da figura original em componentes infinitesimais, desde que o volume (área) já é conhecido a eles. Com o tempo, o método tem crescido, Archimedes usou para encontrar a área de uma parábola. Cálculos similares ao mesmo tempo para realizar exercícios na China antiga, onde estavam completamente independente da ciência colega grego.

desenvolvimento

O próximo avanço no século BC XI tornou-se o trabalho do estudioso árabe "wagon" Abu Ali al-Basri, que empurrou os limites do já conhecido, foram obtidos a partir da fórmula integral para calcular as somas dos valores e graus do primeiro ao quarto, aplicando para este conhecido por nós método de indução.
Mentes de hoje são admirados pelos antigos egípcios criaram os monumentos surpreendentes sem ferramentas especiais, com exclusão das de suas próprias mãos, mas é não é um poder cientistas loucos de não menos do que um milagre? Em comparação com os tempos atuais de suas vidas parecem quase primitivo, mas a decisão de integrais indefinidas deduzida em todos os lugares e utilizado na prática para o desenvolvimento.

O próximo passo ocorreu no século XVI, quando o matemático italiano Cavalieri trouxe método indivisível, que pegou Per Ferma. Estes dois personalidade lançou as bases para o cálculo integral moderna, que é conhecido no momento. Eles amarraram os conceitos de diferenciação e integração, que anteriormente eram vistos como unidades independentes. De um modo geral, a matemática da época era partículas fragmentadas achados existe por si mesmos, com utilização limitada. Forma de unir e encontrar um terreno comum era a única verdade no momento, graças a ele, a moderna análise matemática teve a oportunidade de crescer e se desenvolver.

Com o passar do tempo muda tudo eo símbolo integrante também. Em geral, ele foi designado cientistas que, à sua maneira, por exemplo, Newton usado um ícone quadrado, o que colocou uma função integrável, ou simplesmente colocar juntos. Esta disparidade durou até o século XVII, quando um marco para toda a teoria da análise matemática cientista gotfrid Leybnits introduziu um personagem tão familiar para nós. Alongado "S" é, na verdade, com base nesta carta do alfabeto romano, uma vez que denota a soma de primitivas. O nome do integrante obtida graças a Jakob Bernoulli, depois de 15 anos.

A definição formal

A integral indefinida depende da definição do primitivo, assim que nós consideramos em primeiro lugar.

Primitiva – é a função inversa do derivado, na prática, é chamado primitivo. De outro modo: função primitiva de d – é uma função de D, o qual é o derivado v V '= v. Pesquisa primitiva é calcular a integral indefinida, eo próprio processo é chamado de integração.

exemplo:

A função s (y) = y ^3, e o seu S primitivo (y) = (y ^4/4).

O conjunto de todas as primitivas da função – esta é uma integral indefinida, denotado-lo da seguinte forma: ∫v (x) dx.

Em virtude do facto de que V (x) – são apenas alguns função primitiva, expressão contém: ∫v (x) dx = (X) V + C, em que C – constante. Sob a constante arbitrária refere-se a qualquer constante, uma vez que o seu derivado é zero.

Propriedades

As propriedades possuídas pela integral indefinido, essencialmente, com base na definição e propriedades de derivados.
Considere os pontos-chave:

• derivado integrante da primitiva é primitivo em si, mais uma constante arbitrária C ∫V '(x) dx = (x) + C V;
• derivado do integral de uma função é a função original (∫v (x) dx) '= v (x);
• constante é retirado de debaixo do sinal integrante ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, onde k – é arbitrária;
• integrante, que é tomada a partir da soma do identicamente igual à soma dos integrais ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

As duas últimas propriedades podem ser concluiu que a integral indefinida é linear. Devido a isto, tem-se: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w dy (y).

Para ver exemplos de fixação soluções integrais indefinidos.

Você deve encontrar o ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C.

A partir do exemplo, podemos concluir que você não sabe como resolver integrais indefinidos? Basta encontrar todos os primitivos! Mas a busca pelos princípios discutidos abaixo.

Métodos e Exemplos

A fim de resolver o integral, você pode recorrer aos seguintes métodos:

• pronto para tirar proveito da mesa;
• integração por partes;
• integrado, substituindo a variável;
• somando-se sob o signo do diferencial.

tabelas

A maneira mais simples e agradável. No momento, a análise matemática pode gabar-se tabelas muito extensas, que enunciados a fórmula básica de integrais indefinidas. Em outras palavras, existem modelos derivados até você e você só pode tirar proveito deles. Aqui está a lista dos principais posições da tabela, que podem ser exibidos praticamente todos os casos, tem uma solução:

• ∫0dy = C, em que C – constante;
• ∫dy = Y + C, em que C – constante;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (N + 1) + C, em que C – um constante, e n – número diferente de unidade;
• ∫ (1 / Y) dy = ln | y | + C, em que C – constante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , em que C – constante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, em que C – constante;
• ∫cosydy = siny + C, em que C – constante;
• ∫sinydy = -cosy + C, em que C – constante;
• ∫dy / cos y = ² TGY + C, em que C – constante;
• ∫dy / sen y = ² -ctgy + C, em que C – constante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, em que C – constante;
• ∫chydy = tímida + C, em que C – constante;
• ∫shydy = Chy + C, em que C – constante.

Se necessário, faça um par de passos levam integrando a uma visão tabular e desfrutar da vitória. Exemplo: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x – 2) d (5x – 2) = 1/5 x sin (5x – 2) + C.

De acordo com a decisão, é claro que, por exemplo, uma mesa integrando carece multiplicador 5. Nós adicioná-lo em paralelo com esta multiplicação por 1/5 a expressão geral não se alterou.

Integração por partes

Considere duas funções – Z (y) e x (y). Eles devem ser continuamente diferenciável em seu domínio. Em um propriedades de diferenciação temos: d (XZ) = XDZ + zdx. Integrando ambos os lados, temos: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Reescrevendo a equação resultante, temos a fórmula, que descreve o método de integração por partes: ∫zdx = zx – ∫xdz.

Por que é necessário? O fato de que alguns dos exemplos é possível simplificar, vamos dizer, para reduzir ∫xdz ∫zdx, se este último está perto da forma tabular. Além disso, essa fórmula pode ser usado mais de uma vez, para obter resultados óptimos.

Como resolver integrais indefinidos desta forma:

• necessário calcular ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = E 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2S / 4 + C;

• deve calcular ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, Y = S, dy = ds} = SLNs – ∫s x ds / S = SLNs – ∫ds = SLNs -s + C = S (lns-1) + C.

Substituindo a variável

Este princípio de resolver integrais indefinidos não são menos necessários do que os dois anteriores, embora complicada. O método é como se segue: Seja V (x) – o integral de alguma função v (x). No caso em que, em si integrante no Exemplo slozhnosochinenny vem, é provável que se confundem e desça as soluções caminho errado. Para evitar esta alteração prática da variável x para z, em que a expressão geral visualmente simplificado enquanto se mantinha a z dependendo de x.

Em termos matemáticos, isto é a seguinte: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), em que x = y ( z) – substituição. E, evidentemente, a função inversa z = y ^-1 (x) descreve completamente a relação e a relação de variáveis. Nota importante – o dx diferencial necessariamente substituído por um novo dz diferencial, uma vez que a mudança de variável no integral indefinida envolve substituí-lo em todos os lugares, não apenas no integrando.

exemplo:

• devem encontrar ∫ (s + 1) / ² + (s 2s – 5) ds

Aplicar a substituição z = (s + 1) / ⁽² + s 2s-5). Em seguida, dz = 2sds = 2 + 2 (S + 1) ds (s + 1) dz = ds / 2. Como resultado, a seguinte expressão, que é muito fácil de calcular:

∫ (s + 1) / ² + (s 2s-5) ds = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2LN | S ² + 2s-5 | + C;

• você deve encontrar a integral ∫2 ^s e ^s dx

Para resolver o reescrita da seguinte forma:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} ds 2e) s.

Denotamos por a = 2e (substituição do argumento este passo não é, ele ainda está s), damos a nossa aparentemente complicada integral à forma básica de tabela:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = um s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 e ^{n s s} / (In2 + 1) + C.

Resumindo um sinal diferencial

De um modo geral, este método de integrais indefinidas – o irmão gêmeo do princípio da mudança de variável, mas há diferenças no processo de registro. Vamos considerar em mais detalhes.

Se ∫v (x) dx = (x) + C e y = z (x), então ∫v (y) dy = V (y) + C V

Ao mesmo tempo, não devemos esquecer as transformações integrais triviais, entre os quais:

• dx = d (x + a), e em que – cada uma constante;
• dx = (1 / a), d (ax + b), em que um – constante de novo, mas não zero;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sen x).

Se considerarmos o caso geral em que o cálculo do integral indefinida, exemplos pode ser incluído no âmbito da fórmula geral W '(x) dx = DW (x).

exemplos:

• devem encontrar ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

ajuda on-line

Em alguns casos, a falha dos quais pode se tornar ou preguiça, ou uma necessidade urgente, você pode usar as instruções on-line, ou melhor, para usar uma calculadora integrais indefinidas. Apesar da aparente complexidade e natureza controversa das integrais, a decisão está sujeita ao seu algoritmo específico, que é baseado no princípio de "se você não … então …".

Claro, alguns exemplos particularmente complexas de tal calculadora não vai dominar, pois há casos em que uma decisão tem de encontrar um artificialmente "forçada" através da introdução de certos elementos do processo, porque os resultados são maneiras óbvias para chegar. Apesar da natureza controversa desta declaração, é verdade, como a matemática, em princípio, uma ciência abstrata, eo seu objectivo primordial considera a necessidade de capacitar as fronteiras. De fato, para um bom correr-nos teorias é muito difícil mover-se e evoluir, portanto, não assumem que os exemplos de resolver integrais indefinidas, que nos deu – esta é a altura de oportunidades. Mas, de volta para o lado técnico das coisas. Pelo menos para verificar os cálculos, você pode usar o serviço em que foi escrito para nós. Se há uma necessidade de cálculo automático de expressões complexas, então eles não têm de recorrer a um software mais grave. Deve prestar atenção principalmente no ambiente MatLab.

aplicação

A decisão de integrais indefinidos, à primeira vista parece completamente distante da realidade, porque é difícil ver a óbvia utilização do avião. Na verdade, usar diretamente los em qualquer lugar que você não pode, mas eles são um elemento intermediário necessário no processo de retirada das soluções utilizadas na prática. Assim, a integração de diferenciação de volta, participando assim ativamente do processo de resolução de equações.
Por sua vez, estas equações têm um impacto direto sobre a decisão de problemas mecânicos, cálculo de trajetória e condutividade térmica – em suma, tudo o que constitui o presente e moldar o futuro. exemplos integral indefinida, do qual já considerados acima, apenas trivial, à primeira vista, como uma base para levar a cabo cada vez mais novas descobertas.