conceitos básicos da teoria da probabilidade. As leis da teoria da probabilidade

Muitas pessoas, quando confrontado com a noção de "teoria da probabilidade", com medo, pensando que é algo intolerável, muito difícil. Mas não é realmente tão trágica. Hoje olhamos para os conceitos básicos da teoria da probabilidade, aprender a resolver problemas por exemplos concretos.

ciência

O que está estudando um ramo da matemática como uma "teoria da probabilidade"? Ele observa padrões de eventos aleatórios e variáveis. Pela primeira vez, a questão dos Cientistas Preocupados, no século XVIII, quando o jogo estudado. conceitos básicos da teoria da probabilidade – evento. É nenhum fato que é afirmado pela experiência ou observação. Mas o que é a experiência? Outro conceito básico da teoria da probabilidade. Isso significa que esta parte das circunstâncias não são acidentalmente criados, e com um propósito. No que diz respeito à vigilância, não é o próprio pesquisador não participa na experiência, mas simplesmente uma testemunha a esses eventos, não tem nenhum efeito sobre o que está acontecendo.

eventos

Aprendemos que o conceito básico da teoria da probabilidade – o evento, mas não considerou classificação. Todos eles estão divididos nas seguintes categorias:

• Confiável.
• Impossível.
• Aleatória.

Não importa qual é o evento, que está sendo vigiado ou criadas no decurso da experiência, eles são afetados por essa classificação. Oferecemos todos os tipos de reunir-se separadamente.

determinado evento

Este é um fato de que para fazer o conjunto necessário de atividades. A fim de melhor compreender a essência, é melhor dar alguns exemplos. Esta é subordinado à lei e física, química, economia e matemática superior. teoria da probabilidade inclui um conceito tão importante como um evento significativo. Aqui estão alguns exemplos:

• Trabalhamos e recebem uma remuneração sob a forma de salários.
• Bem passou nos exames, passou uma competição para que ele receba remuneração sob a forma de admissão a uma instituição de ensino.
• Temos investido dinheiro no banco, recuperá-los, se necessário.

Tais eventos são verdadeiras. Se temos cumprido todas as condições necessárias, certifique-se de obter o resultado esperado.

evento impossível

Agora vamos considerar os elementos da teoria da probabilidade. Oferecemos para ir para os esclarecimentos nos seguintes tipos de eventos – ou seja, o impossível. Para começar a estipular a regra mais importante – a probabilidade de um evento impossível é zero.

A partir desta formulação não pode ser derrogada na resolução de problemas. Para ilustrar exemplos de tais eventos:

• A água é congelado a uma temperatura de mais de dez (é impossível).
• A falta de eletricidade não afeta a produção (tão impossível como no exemplo anterior).

Mais exemplos são dados não é necessário, como descrito acima de forma muito clara refletir a essência desta categoria. evento impossível nunca acontece durante o experimento sob quaisquer circunstâncias.

eventos aleatórios

Ao estudar os elementos da teoria da probabilidade, uma atenção especial deve ser dada para o tipo de dado de evento. Estes são aqueles que estudam esta ciência. Como resultado da experiência de alguma coisa pode acontecer ou não. Além disso, o teste de um número ilimitado de vezes pode ser realizada. Exemplos notáveis incluem:

• Atire a moeda – é uma experiência ou teste, a perda de uma águia – este evento.
• Puxando a bola do saco cegamente – teste, foi pego bola vermelha – este evento e assim por diante.

Tais exemplos pode ser um número ilimitado, mas, em geral, estão a ser entendidas. Para resumir e sistematizar o conhecimento adquirido sobre os acontecimentos de uma mesa. estudos teoria da probabilidade somente o último tipo de todos apresentados.

leis

teoria da probabilidade – a ciência que estuda a possibilidade de perda de qualquer evento. Como os outros, ele tem algumas regras. As seguintes leis da teoria da probabilidade:

• A convergência de sucessões de variáveis aleatórias.
• A lei dos grandes números.

Ao calcular a possibilidade de um complexo pode ser usado eventos simples complexas para alcançar resultados mais fácil e mais rápida maneira. Deve-se notar que as leis da teoria da probabilidade pode ser facilmente comprovado com a ajuda de alguns dos teoremas. Sugerimos começar a se familiarizar com a primeira lei.

A convergência de sucessões de variáveis aleatórias

Note-se que a convergência de vários tipos:

• A sequência de variáveis aleatórias convergência em probabilidade.
• Quase impossível.
• convergência RMS.
• Convergência em distribuição.

Então, no momento, é muito difícil de captar a essência. Aqui estão as definições que ajudarão a compreender o tema. Para começar com o primeiro olhar. A sequência é chamado de convergência em probabilidade, se a seguinte condição: N se aproxima do infinito, o número pretendido pela sequência é maior do que zero e próximo da unidade.

Ir para a próxima exibição, quase certamente. Eles dizem que a seqüência converge quase certamente para uma variável aleatória com n tende ao infinito, e R, tendendo a um valor próximo da unidade.

O próximo tipo – uma convergência de RMS. Quando se utiliza a convergência aprendizagem-SC de processos aleatórios vector reduz para o estudo de processos aleatórios de coordenadas.

Foi o último tipo, vamos olhar brevemente e ir diretamente para a solução de problemas. Convergência em distribuição tem outro nome – "fraco", em seguida, explicar o porquê. convergência fraca – é a convergência das funções de distribuição em todos os pontos de continuidade da função de distribuição limite.

Certifique-se de manter a promessa: convergência fraca é diferente de tudo o que precede que a variável aleatória não está definida no espaço de probabilidade. Isto é possível porque a condição é formado utilizando exclusivamente funções de distribuição.

A lei dos grandes números

Grande auxiliar na prova da lei será teoremas da teoria da probabilidade, tais como:

• desigualdade de Chebyshev.
• teorema de Chebyshev.
• Generalizada teorema Chebyshev.
• teorema de Markov.

Se considerarmos todos estes teoremas, então o problema pode levar várias dezenas de folhas. Temos a tarefa principal – é a aplicação da teoria da probabilidade na prática. Oferecemos-lhe agora e fazê-lo. Mas, antes de considerar os axiomas da teoria da probabilidade, eles são parceiros fundamentais na resolução de problemas.

axiomas

Desde o início, já vimos, quando se fala sobre o evento impossível. Vamos lembrar: a probabilidade de um evento impossível é zero. Exemplo que deu uma muito vivas e memorável: a neve caiu a uma temperatura do ar de trinta graus Celsius.

A segunda é a seguinte: um determinado evento ocorre com a unidade de probabilidade. Agora vamos mostrar como está escrito com a ajuda de linguagem matemática: P (B) = 1.

Terceiro: um evento aleatório pode acontecer ou não, mas a possibilidade é sempre variar de zero a um. Quanto mais próximo estiver da unidade, mais chances; se o valor é próximo de zero, a probabilidade é muito baixa. Nós escrevemos isso em linguagem matemática: 0 <P (C) <1.

Considere o último, quarto axioma, isto é: a soma da probabilidade de dois eventos é igual à soma de suas probabilidades. Faça termos matemáticos: P (A + B) = P (A) + P (B).

Os axiomas da teoria da probabilidade – é uma regra simples que não será difícil de lembrar. Vamos tentar resolver alguns problemas, com base em conhecimentos já adquiridos.

bilhete de loteria

Primeiro, considere o exemplo mais simples – uma loteria. Imagine que você comprou um bilhete de loteria para dar sorte. Qual é a probabilidade de que você vai ganhar pelo menos vinte rublos? circulação total está envolvido em mil bilhetes, um dos quais tem um prêmio de quinhentos rublos, dez rublos, vinte e cinquenta rublos, e uma centena – cinco. A tarefa da teoria da probabilidade com base em como encontrar uma maneira de sorte. Agora, juntos, analisar a decisão acima da vista Tarefas.

Se denotar por um prémio de quinhentos rublos, então a probabilidade de que A é igual a 0,001. Como é que vamos chegar? Só precisa do número de bilhetes "sorte" dividido pelo número total (neste caso: 1/1000).

In – um ganho de cem rublos, a probabilidade será igual a 0,01. Agora temos agido da mesma forma que a última ação (10/1000)

C – recompensa é vinte rublos. Encontre a probabilidade, é igual a 0,05.

O resto dos bilhetes não estamos interessados, como o seu prêmio em dinheiro é menor do que o especificado na condição. Aplicar uma quarta axioma: A probabilidade de ganhar, pelo menos, vinte rublos é P (A) + P (B) + P (C). A letra P denota a probabilidade de origem do evento, que nas etapas anteriores já encontraram-los. Resta apenas definir os dados necessários, a resposta obtemos 0,061. Este número será a resposta à pergunta de empregos.

baralho de cartas

Problemas na teoria da probabilidade, há também mais complexo, por exemplo, dar o próximo trabalho. Antes de baralho de trinta e seis cartões. Sua tarefa – para desenhar dois cartões em uma linha, sem misturar pilha, o primeiro e segundo cartões devem ser aces, ternos, não importa.

Para começar, encontrar a probabilidade de que o primeiro cartão é um ás, esta divisão por quatro e trinta e seis. Reserve. Nós obter um segundo cartão é um ás com a probabilidade de 335. A probabilidade do segundo evento depende de qual o cartão que tirou o primeiro, estamos interessados em, era um ás ou não. Disto se segue que, no caso depende do evento A.

O próximo passo encontramos a probabilidade de implementação simultânea, ou seja, multiplicar A e B. O seu trabalho é a seguinte: a probabilidade de um evento multiplicado pela probabilidade condicional de outro, calculamos, assumindo que o primeiro evento ocorreu, ou seja, o primeiro cartão que tirou um ás.

A fim de tornar-se tudo está claro, dar a designação de tal elemento como a probabilidade condicional do evento. Ele é calculado assumindo que o evento A acontecido. É calculado da seguinte forma: P (B / A).

Nós estender a solução para o problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ou P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). A probabilidade é (4/36) _* ((3/35) / (4/36) é calculado por arredondamento para o centésimo mais próximo Temos: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. a probabilidade de que nós extrair duas ases consecutivas é igual a nove centésimos. o valor é muito pequena, segue-se que a probabilidade de ocorrência de um evento é extremamente baixo.

quarto esquecido

Oferecemos fazer fora mais algumas opções de postos de trabalho que estuda a teoria da probabilidade. Exemplos de soluções de alguns dos mais você viu neste artigo, tente resolver o seguinte problema: O menino esqueceu o número de telefone para o último dígito do seu amigo, mas desde que a chamada foi muito importante, em seguida, começou a pegar um de cada vez. Precisamos calcular a probabilidade de que ele chamaria de não mais do que três vezes. a solução mais simples do problema, se você conhece as regras, leis e axiomas da teoria da probabilidade.

Antes de ver uma solução, tentar resolver por conta própria. Sabemos que o último valor pode ser de zero a nove, para um total de dez valores. pontuação probabilidade exigida é 1/10.

Em seguida, precisamos considerar as opções para a origem dos eventos, vamos supor que o menino adivinhou certo e ganhou o direito, a probabilidade de tais eventos é igual a 1/10. A segunda opção: o primeiro deslizamento chamada, e o segundo alvo. Nós calcular a probabilidade de tais eventos: 9/10 multiplicado por 1/9, no final, chegar o mais 1/10. A terceira opção: a primeira e segunda chamada acabou por ser o endereço errado, apenas o terceiro rapaz era onde ele queria. Calcular a probabilidade de tais eventos: 10/09 multiplicado por 09/08 e 08/01, obtém-se como resultado de 10/01. Outras opções na condição do problema não estamos interessados, esta continua a ser para nós estabelecer esses resultados, no final temos um 3/10. Resposta: A probabilidade de que um menino iria chamar não mais de três vezes, o equivalente a 0,3.

Cartões com números

Antes de nove cartões, cada um dos quais está escrito um número de um a nove, os números não são repetidas. Eles colocaram em uma caixa e misture bem. Você precisa calcular a probabilidade de que o

• rolado um número par;
• um dois dígitos.

Antes de prosseguir para a decisão estipulam que m – é o número de casos de sucesso, e n – é o número total de opções. Vamos encontrar a probabilidade de que o número é ainda. Não é difícil calcular que até mesmo números de quatro, e é nossa m, todas as nove opções possíveis, isto é, m = 9. Então a probabilidade é igual a 0,44 ou 4/9.

Consideramos o segundo caso, o número de variantes de nove anos, e um resultado bem sucedido não pode estar em todos, isto é, m é zero. A probabilidade de que a placa alongada conterá um número de dois dígitos, como zero.