Em preparação para o exame em estudantes de matemática têm a sistematizar o conhecimento de álgebra e geometria. Eu gostaria de combinar todas as informações conhecidas, tais como a forma de calcular a área de uma pirâmide. Além disso, a partir do fundo e faces laterais até que toda a área de superfície. Se o lado enfrenta a situação é clara, pois eles são triângulos, a base é sempre diferente.
Como ser quando a área da base da pirâmide?
Ele pode ser bastante qualquer figura de um triângulo arbitrário ao gon n-. E esta base, exceto a diferença no número de ângulos, pode ser figura correta ou incorreta. No interesse de tarefas alunos no exame encontrou apenas empregos com os números corretos na base. Portanto, vamos apenas falar sobre eles.
triângulo equilátero
Isso é equilátero. Um que todas as partes são iguais e são designadas pela letra "a". Neste caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:
S = (2 * √3) / 4.
praça
A fórmula para calcular a sua área é a mais simples, é "a" – lado é novamente:
E S = 2.
Arbitrária regular de n-gon
Nos lados do polígono a mesma designação. Para obter o número de ângulos utilizados letra n Latina.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)) .
Como entrar no cálculo da área da superfície lateral e cheio?
Desde a figura base é correta, então todas as faces da pirâmide são iguais. Cada um dos quais é um triângulo isósceles, uma vez que os bordos laterais são iguais. Em seguida, a fim de calcular a área de um lado da pirâmide precisa fórmula constituída pela soma de monomios idênticos. O número de termos é determinado pela quantidade dos lados da base.
A área de um triângulo isósceles é calculado pela fórmula em que metade do produto base é multiplicado pela altura. Esta altura na pirâmide chamado apótema. A sua designação – "A". A fórmula geral para a área da superfície lateral é como se segue:
S = ½ * P A, onde P – perímetro da base da pirâmide.
Há momentos em que ela não é conhecida para o lado da base, mas as bordas laterais são (a) plana e o ângulo no vértice (α). Em seguida, ele confia usar a seguinte fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:
S = n / 2 a 2 * sin α.
Tarefa № 1
Condição. Localizar a área total da pirâmide, se a base é um triângulo equilátero com um lado de 4 cm e tem o valor √3 apótema cm.
Decisão. Ele deve começar com o cálculo do perímetro da base. Uma vez que este é um triângulo regular, então P = 3 * 4 = 12 centímetros apótema Como é sabido, pode-se calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral :. ½ * 12 * √3 = 6√3 cm2.
Para obter o triângulo de base é o valor da área (4 * 2 √3) / 4 = 4√3 cm2.
Para determinar a área inteira precisa de dobrar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.
Resposta. 10√3 cm2.
Problema № 2
Condição. Há uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento da base é igual a 7 mm, o bordo lateral – 16 mm. Você precisa saber sua área de superfície.
Decisão. Desde o poliedro – retangular e correto, em sua base é um quadrado. Ouvindo superfície de base e laterais poder contar da pirâmide quadrado. A fórmula para o quadrado é dado acima. E eu sei que todas as faces laterais do triângulo. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para o cálculo de suas áreas.
Os primeiros cálculos são simples e levar a este número: 49 milímetros 2. Para calcular o segundo valor preciso semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 milímetros. Agora podemos calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54.644 mm2. Existem quatro triângulos, por isso, quando o cálculo dos números finais terão de ser multiplicado por quatro.
Obtido: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm2.
Resposta. 267,576 valor desejado de 2 mm.
Tarefa № 3
Condição. Na pirâmide quadrangular regular é necessário calcular a área. Sabe-se dos lados do quadrado – 6 cm de altura e 4 cm -.
Decisão. A maneira mais fácil de usar a fórmula para o produto do perímetro e apótema. O primeiro valor é encontrado simplesmente. O segundo um pouco mais difícil.
Nós vamos ter que lembrar o teorema de Pitágoras e considerar um triângulo retângulo. Ele é formado pela altura da pirâmide e apótema, que representa a hipotenusa. A segunda etapa é a metade do lado da praça, como uma altura poliedro cai no meio dela.
apótema favorecido (a hipotenusa de um triângulo rectângulo) é igual a √ (2 Março + 4 2) = 5 (cm).
Agora é possível calcular o valor desejado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 (2 cm).
Resposta. 96 cm 2.
Problema № 4
Condição. Dana pirâmide hexagonal regular. Os lados da sua base igual a 22 mm, os bordos laterais – 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?
Decisão. O raciocínio nela são as mesmas descritas na №2 tarefa. Apenas a pirâmide foi dada lá para a praça na base, e agora é um hexágono.
O primeiro passo é calculado pela área da base da fórmula acima (6 * 22 2) / ( 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm2.
Agora você precisa encontrar meio perímetro de um triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 permanece na fórmula de Heron para calcular a área de cada um triângulo, e, em seguida, multiplicar por seis vezes e aquele que se mostrou para a base.
Os cálculos relativos à fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √435600 = 660 centímetros 2. Os cálculos que irá proporcionar uma área superfície lateral: 660 * 6 = 3,960 centímetros 2. Resta acrescentar-los para descobrir toda a superfície: 5217,47≈5217 cm 2.
Resposta. Fundamentos – 726√3 cm 2, a superfície do lado – 3960 cm 2, toda a área – 5217 cm 2.
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