progressão geométrica. EXEMPLO para decisão

Considere uma fileira.

7 28 112 448 1792 …

mostra muito claramente que o valor de qualquer dos seus elementos mais do que os anteriores exatamente quatro vezes. Assim, esta série é uma progressão.

progressão geométrica chamado sequência infinita de números, a característica principal dos quais é que o número seguinte é obtido a partir do acima multiplicando por algum número definido. Isto é expresso pela fórmula seguinte.

_{z 1 = a z · q} , em que z – número do elemento seleccionado.

Por conseguinte, z ∈ N.

Um tempo em que a escola é estudado progressão geométrica – 9º ano. Exemplos ajudarão a entender o conceito:

0,25 0,125 0,0625 …

18 06 de fevereiro …

Com base nesta fórmula, a progressão do denominador podem ser encontrados como se segue:

Nem Q, ou b _Z não pode ser igual a zero. Além disso, cada um dos elementos de uma série de números de progressão não deve ser zero.

Deste modo, para ver o próximo número de um número, multiplicar este último por q.

Para definir esta progressão, você deve especificar o primeiro elemento do mesmo e o denominador. Depois disso, é possível encontrar qualquer um dos seguintes membros e sua quantidade.

espécies

Dependendo do q e um _1, esta progressão é dividido em vários tipos:

• Se um _1, e q é maior do que um, então uma sequência de – aumentando a cada elemento sucessivo de uma progressão geométrica. Exemplos destes são detalhados abaixo.

Exemplo: um ₁ = 3, q = 2 – maior do que a unidade, ambos os parâmetros.

Em seguida, uma sequência de números pode ser escrito como:

3 6 12 24 48 …

• Se | q | menos do que um, isto é, que é equivalente a multiplicação por divisão, a progressão com condições semelhantes – decrescentes progressão geométrica. Exemplos destes são detalhados abaixo.

Exemplo: um ₁ = 6, q = 1/3 – um ₁ é maior do que um, q – menos.

Em seguida, uma sequência de números pode ser escrito como se segue:

02 de junho de 2/3 … – qualquer elemento mais elementos seguintes, é 3 vezes.

• Alternada. Se q <0, os sinais dos números da sequência alternada constante, independentemente de uma _1, e os elementos de um eventual aumento ou diminuição.

Exemplo: um ₁ = -3, q = -2 – são ambos menores do que zero.

Em seguida, uma sequência de números pode ser escrito como:

3, 6, -12, 24, …

fórmula

Para o uso conveniente, há muitas progressão geométrica das fórmulas:

• Fórmula Z-th prazo. Ele permite o cálculo do elemento em um número específico sem calcular os números anteriores.

Exemplo: q = 3, a = ₁ 4. necessário para calcular uma quarta progressão elemento.

Solução: a = ₄ 4 3 ^4-1 · · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• A soma dos primeiros elementos, cujo número é igual a z. Ele permite o cálculo da soma de todos os elementos de uma sequência para um inclusiva _z.

≠ 0, assim, q não é 1 – (Q 1) Uma vez que (1- q) está no denominador, em seguida.

Nota: se q = 1, então a progressão teria representado uma série de interminavelmente repetindo o número.

Montante exponencialmente exemplos: um ₁ = 2, q = -2. Calcular S _5.

Solução: S ₅ = 22 – fórmula de cálculo.

• Montante se | q | <1 e quando z tende ao infinito.

Exemplo: um ₁ = _2, q = 0,5. Encontre a soma.

Solução: S _Z = 2 x = 4

Se calcular a soma de vários membros do manual, você vai ver que ele está de fato comprometido com quatro.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Algumas propriedades:

• Uma propriedade característica. Se a seguinte condição É válido para qualquer z, em seguida, dada uma série numérica – uma progressão geométrica:

um _^Z2 = A _{z -1} · Um _{z + 1}

• Também é o quadrado de qualquer número é exponencialmente por meio de adição dos quadrados dos outros dois números em qualquer dada linha, se eles são equidistantes do elemento.

² um _z = _{z – T} ² _{+ z} + _t ^2, onde t – a distância entre esses números.

• Os elementos diferem por vezes q.
• Os logaritmos dos elementos de progressão assim formar uma progressão, mas a média aritmética, isto é, cada um deles mais do que o anterior por um certo número.

Exemplos de alguns problemas clássicos

Para entender melhor o que uma progressão geométrica, com os exemplos de decisões para o grau 9 pode ajudar.

• Termos e condições: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Find q.

Solução: cada elemento sucessivo em mais do que o anterior q tempo. É necessário para expressar alguns elementos através de outra via denominador.

Por conseguinte, um ₃ = q ² · um ₁

Quando substituindo q = 4

• Condições: um ₂ = 6, a = ₃ 12. Calcular S _6.

Solução: Para fazer isso, basta encontrar q, o primeiro elemento e substituto na fórmula.

um ₃ = Q · um _2, consequentemente, q = 2

a ₂ = Q Um · _1, assim a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Encontrar o quarto elemento de progressão.

Solução: é suficiente para expressar o quarto elemento através do primeiro e por meio do denominador.

_4-A ³ = Q · a = ₁ -80

Exemplo de aplicação:

• cliente Banco contribuiu a soma de 10.000 rublos, em que a cada ano o cliente para o valor do principal será adicionado 6% do que embora. Quanto dinheiro está na conta depois de 4 anos?

Solução: O valor inicial igual a 10 mil rublos. Então, um ano após os investimentos na conta será o montante equivalente a 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Consequentemente, o montante na conta, mesmo depois de um ano vai ser expressa da seguinte forma:

(10000 · 1,06) · · 10000 0,06 + 1,06 = 1,06 1,06 · · 10.000

Ou seja, a cada ano a quantidade aumentou para 1,06 vezes. Assim, para encontrar o número da conta depois de 4 anos, é suficiente para encontrar um quarto progressão elemento, que é dado primeiro elemento igual a 10 mil, eo denominador igual a 1,06.

S = 1,06 · · 1,06 1,06 1,06 · · 10000 = 12625

Exemplos de problemas no cálculo da soma de:

Em vários problemas usando progressão geométrica. Um exemplo de encontrar a soma pode ser definido da seguinte forma:

a ₁ = 4, q = 2, calcular S _5.

Solução: todos os dados necessários para o cálculo são conhecidos, simplesmente substituí-los na fórmula.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = _3, 18. Calcular a soma dos primeiros seis elementos.

solução:

O Geom. o progresso de cada elemento da próxima maior do que as vezes q anteriores, ou seja, para calcular a quantidade que você precisa saber o elemento a ₁ eo denominador q.

a ₂ · q = _a3

q = 3

Da mesma forma, a necessidade de encontrar a _1, a ₂ e sabendo q.

a ₁ · q = _a2

a ₁ = 2

E, em seguida, é suficiente substituir as indicações conhecidas para a quantidade da fórmula.

S ₆ = 728.