progressão geométrica e as suas propriedades

progressão geométrica é importante na matemática como uma ciência, e significância aplicado, uma vez que tem um alcance muito amplo, mesmo nas matemática mais elevados, por exemplo, na teoria da série. As primeiras informações sobre o progresso veio até nós do antigo Egito, particularmente na forma de um problema bem conhecido do papiro de Rhind sete pessoas com sete gatos. Variações desta tarefa foram repetidas muitas vezes em momentos diferentes de outras nações. Mesmo o Velikiy Leonardo Pizansky, conhecido como Fibonacci (XIII c.), Falou com ela em seu "Livro do Abacus."

Assim que a progressão geométrica tem uma história antiga. Ele representa uma sequência numérica com um primeiro membro diferente de zero, e cada um dos subsequentes, começando com o segundo é determinado multiplicando a fórmula de recorrência anterior a um número constante, diferente de zero, que é chamada progressão denominador (que geralmente designada utilizando a letra q).
Obviamente, pode ser encontrada dividindo cada termo subsequente da sequência ao anterior, isto é, z 2: z = 1 … = z: z n-1 = …. Consequentemente, para a maioria progressão do trabalho (Zn) suficientes de que sabe o valor do primeiro termo do denominador e y 1 q.

Por exemplo, deixar que z 1 = 7, Q = – 4 (q <0), então o seguinte progressão geométrica é obtido 7-28, 112-448, …. Como você pode ver, a seqüência resultante não é monótona.

Recorde-se que uma sequência arbitrária de monótono (aumentando / diminuindo a) quando um de seus membros seguir mais / menos do que a anterior. Por exemplo, a sequência de 2, 5, 9, …, e -10, -100, -1000, … – monótono, o segundo um – uma progressão geométrica decrescente.

No caso em que q = 1, todos os membros encontram-se a ser, e é chamado a progressão constante.

A sequência era a progressão deste tipo, deve satisfazer a seguinte condição necessária e suficiente, a saber: a partir da segunda, cada um dos seus membros deve ser a média geométrica dos membros vizinhos.

Esta propriedade permite que sob certa progressão arbitrária mandato de dois constatação adjacente.

n-ésimo termo exponencialmente facilmente encontrado pela fórmula: Zn = 1 z * q ^ (n-1), z sabendo primeiro membro 1 e o denominador q.

Uma vez que a sequência de números tem uma soma, então alguns cálculos simples nos dar uma fórmula para calcular a soma da primeira progressão de membros, a saber:

S N = – (Zn * q – Z 1) / (1 – q).

Substituindo, na fórmula seu valor expressão Zn z 1 * q ^ (n-1) para se obter uma segunda fórmula soma da progressão: S N = – z1 * (q ^ n – 1) / (1 – q).

É digno de atenção o seguinte fato interessante: a tábua de argila encontrada em escavações da antiga Babilônia, que se refere à VI. BC, contém forma notável a soma de 1 + 2 + … + 22 + 29 igual a 2 ao menos poder décimo 1. A explicação deste fenômeno ainda não foi encontrado.

Observamos uma das propriedades de progressão geométrica – um trabalho constante dos seus membros, espaçadas a distâncias iguais das extremidades da sequência.

De particular importância do ponto de vista científico, uma coisa como uma progressão geométrica infinita e calcular o seu valor. Partindo do princípio de que (in) – uma progressão geométrica com denominador q, satisfazendo a condição | Q | <1, a sua quantidade será referido o limite para o qual já conhecemos a soma dos seus primeiros membros, com aumento ilimitado de n, então têm-no aproximando infinito.

Encontrar esse valor como um resultado da utilização da fórmula:

S n = y 1 / (1- q).

E, como a experiência tem demonstrado, a aparente simplicidade desta progressão é escondido um potencial de aplicação enorme. Por exemplo, se construir uma sequência de quadrados de acordo com o seguinte algoritmo, que liga os pontos médios do anterior, em seguida, eles formam uma progressão geométrica infinita quadrado que tem um denominador 1/2. A mesma forma de progressão e a área de triângulos, obtido em cada fase de construção, e a sua soma é igual à área do quadrado original.