Linear e equação diferencial homogénea de primeira ordem. exemplos de soluções

Acho que devemos começar com a história da ferramenta matemática glorioso como equações diferenciais. Como todo o cálculo diferencial e integral, essas equações foram inventadas por Newton no final do século 17. Ele acreditava que era sua descoberta tão importante que mesmo a mensagem criptografada, que hoje pode ser traduzido da seguinte maneira: "Todas as leis da natureza descritos por equações diferenciais." Pode parecer um exagero, mas é verdade. Qualquer lei da física, química, biologia, podem ser descritos por estas equações.

Uma enorme contribuição para o desenvolvimento e criação da teoria das equações diferenciais têm matemática de Euler e Lagrange. Já no século 18, eles descobriram e desenvolveram o que está agora a estudar nos cursos universitários seniores.

Um novo marco no estudo de equações diferenciais começou graças a Anri Puankare. Ele criou uma "teoria qualitativa de equações diferenciais", o que, combinado com a teoria de funções de variáveis complexas contribuíram significativamente para a base da topologia – a ciência do espaço e suas propriedades.

Quais são equações diferenciais?

Muitas pessoas têm medo da frase "equação diferencial". No entanto, neste artigo, vamos definir em detalhe a essência desta ferramenta matemática muito útil que, na verdade, não é tão complicado como parece a partir do título. A fim de começar a falar de uma equação diferencial de primeira ordem, você deve primeiro se familiarizar com os conceitos básicos que são inerentemente associados com esta definição. E vamos começar com o diferencial.

diferencial

Muitas pessoas conhecem este termo desde o colegial. No entanto, ainda me debruçar sobre isso em detalhes. Imagine que o gráfico da função. Nós podemos aumentá-lo de tal forma que qualquer um de seu segmento torna-se uma linha reta. Vai levar dois pontos que são infinitamente próximos uns dos outros. A diferença entre as respectivas coordenadas (x ou y) é infinitesimal. E é chamado diferencial e caracteres designar dy (diferencial de y) e dx (o diferencial de x). É importante compreender que o diferencial não é o valor final, e este é o significado ea função principal.

E agora você deve considerar os seguintes elementos, que teremos de explicar o conceito equação diferencial. It – derivado.

derivado

Todos nós deve ter ouvido falar na escola e esta noção. Eles dizem que o derivado – é a taxa de crescimento ou diminuição da função. No entanto, esta definição se torna mais confuso. Vamos tentar explicar os termos derivados dos diferenciais. Vamos voltar para a função de intervalo infinitesimal com dois pontos, que estão localizados a uma distância mínima um do outro. Mas, mesmo para além desta função de distância é hora de mudar para algum valor. E para descrever que as alterações e chegar a um derivado que, de outro modo ser escrita como a razão entre os diferenciais: F (x) = df / dx.

Agora é necessário considerar as propriedades básicas do derivado. Há apenas três:

1. soma derivado ou a diferença pode ser representado como a soma ou a diferença dos derivados de: (a + b) '= a' + b 'e (ab)' = a'-b'.
2. A segunda propriedade é conectado com multiplicação. trabalhos derivados – é a soma das obras de uma função para outra derivado de: (a * b) '= A' * b + a * b'.
3. O derivado da diferença pode ser escrita como a seguinte equação: (a / b) '= (A' * bA * b ') / b ^2.

Todos esses recursos vêm a calhar para encontrar soluções para equações diferenciais de primeira ordem.

Além disso, não são derivadas parciais. Suponha-se que têm uma função de z, que depende das variáveis x e y. Para calcular a derivada parcial desta função, por exemplo, em x, é preciso tomar a y variável para constante e fácil diferenciar.

integral

Outro conceito importante – integral. Na verdade, é o oposto do derivado. Integrais são vários tipos, mas as soluções mais simples de equações diferenciais, precisamos dos mais triviais integrais indefinidas.

Então, qual é a integral? Vamos dizer que temos alguma relação f de x. Tomamos a partir dele o integral e obter uma função F (x) (que é muitas vezes referida como uma primitiva), que é um derivado da função original. Por conseguinte, F (x) '= f (x). Isto também implica que a integral do derivado é igual à função original.

Na resolução de equações diferenciais é muito importante para compreender o significado ea função do integral, pois muitas vezes tem que levá-los para encontrar soluções.

As equações são diferentes dependendo da sua natureza. Na próxima seção, vamos olhar para tipos de equações diferenciais de primeira ordem e, em seguida, aprender a resolvê-los.

Classes de equações diferenciais

"Diffury" dividida pela ordem de derivados envolvidos neles. Assim, há uma primeira, segunda, terceira ou mais pedidos. Eles também podem ser divididos em várias classes: ordinárias e parciais.

Neste artigo, vamos considerar as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Exemplos e soluções discutimos nas seções seguintes. Nós consideramos apenas o TAC porque são os tipos mais comuns de equações. Ordinary divididos em subespécies: com variáveis separáveis, homogéneos e heterogéneos. Em seguida, você vai aprender como eles diferem uns dos outros, e aprender a resolvê-los.

Além disso, essas equações podem ser combinadas, de modo que depois que nós obtemos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Tais sistemas, nós também olhar e aprender a resolver.

Por que estamos considerando apenas o primeiro pedido? Porque é necessário começar com uma simples e descrever todos os associados com equações diferenciais, em um único artigo é impossível.

Equações com variáveis separáveis

Este é talvez o mais simples equações diferenciais de primeira ordem. São exemplos que podem ser escritas como: y '= f (x) * f (y). Para resolver esta equação precisamos da fórmula representação do derivado como o rácio entre os diferenciais: y '= dy / dx. Com isso obtém-se a equação: dy / dx = f (x) * f (y). Agora podemos voltar para o método de resolução de exemplos padrão: separar as variáveis em partes, ou seja, avançar rapidamente toda a variável y na parte onde há dy, e também fazer a variável x … Obtemos uma equação da forma: dy / f (y) = dx f (x), o que é conseguido, tendo os integrais das duas partes. Não se esqueça sobre a constante que você deseja colocar após a integração.

A solução de qualquer "diffura" – é uma função de x por y (em nosso caso), ou se existe uma condição numérica, a resposta é um número. Vamos examinar um exemplo concreto de todo o curso da decisão:

y '= 2y * sen (x)

Transferir as variáveis em direcções diferentes:

dy / y = 2 * sen (x) dx

Agora pegue as integrais. Todos eles podem ser encontrados em uma tabela especial de integrais. E temos:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Se necessário, podemos expressar o "y" em função do "X". Agora podemos dizer que a nossa equação diferencial é resolvido, se não for especificado condição. Pode ser especificada condição, por exemplo, y (n / 2) = e. Então, vamos simplesmente substituir o valor dessas variáveis na decisão e encontrar o valor da constante. No nosso exemplo, é 1.

equações diferenciais de primeira ordem homogéneos

Agora sobre as partes mais complexas. Equações homogéneas diferenciais de primeira ordem pode ser escrito na forma geral como: y '= z (x, y). Note-se que a função certa de duas variáveis é uniforme, e não pode ser dividido em dois, dependendo: z x e z de y. Verifique se a equação é homogénea ou não, é bastante simples: nós fazemos a substituição x = k * x e y = k * y. Agora vamos cortar todo k. Se essas cartas são descartados, então a equação homogênea e pode prosseguir com segurança para sua solução. Olhando para o futuro, nós dizemos: o princípio da solução desses exemplos também é muito simples.

Precisamos fazer a substituição: y = t (x) * x, onde t – uma função que também depende de x. Em seguida, pode expressar o derivado: y '= t' (x) * x + T. Substituindo tudo isso em nossa equação original e simplificá-lo, temos o exemplo da separação de variáveis t como x. Resolvê-lo e obter a dependência de T (x). Quando chegamos, simplesmente substituir o nosso anterior substituição y = t (x) * x. Em seguida, obtemos a dependência de y sobre x.

Para tornar mais claro, vamos entender um exemplo: x * y '= yx * e y / x.

Ao verificar a substituição de todo o declínio. Então, a equação é muito homogênea. Agora fazer outra substituição, falamos sobre: y = t (x) * x e y '= t' (x) * x + t (x). Depois de simplificação a seguinte equação: T (x) * x = -e t. Nós decidir para obter uma amostra com variáveis separadas e ^{temos: e -t = ln (C *} x). Nós apenas precisamos de substituir t por y / x (porque se y = t * x, então t = y / x), e nós temos a ^{resposta: e Y / x = ln (} x * C).

equação diferencial linear de primeira ordem

É hora de considerar um outro tema amplo. Vamos olhar equações diferenciais de primeira ordem heterogêneos. Como eles diferem dos dois anteriores? Vamos enfrentá-lo. equações diferenciais primeira ordem linear, sob a forma geral da equação pode ser escrita da seguinte forma: y '+ g (X) * Y = Z (X). Deve ser clarificado que z (x) e g (x) podem ser valores constantes.

Aqui está um exemplo: y '- y * x = x ^2.

Há duas maneiras de resolver, e nós ordem Examinemos os dois. A primeira – o método de variação de constantes arbitrárias.

Para resolver a equação desta forma, é necessário equacionar o lado de primeira mão direita para zero, e resolver a equação resultante que após a transferência de partes torna-se:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^C y C = ₁ * e ^{x2 / 2.}

Agora é necessário substituir a constante C ₁ sobre a função v (x), que vamos encontrar.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Desenhe um derivado de substituição:

^{Y '= v' * e x2} / ² * -x v * e ^{x2 / 2.}

E substituindo estas expressões na equação original:

v '* e ^{x2 / 2} – x * v * E ^{x2 / 2} + x * v * E ^{x2 / 2} = x ^2.

Você pode ver que no lado esquerdo dos dois termos são reduzidos. Se algum exemplo que não aconteceu, então você ter feito algo errado. Continuamos a:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Agora vamos resolver a equação usual na qual pretende separar as variáveis:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{– x2 / 2} dx.

Para remover o integral, temos de aplicar a integração por partes aqui. No entanto, este não é o tema deste artigo. Se você estiver interessado, você pode aprender por conta própria para realizar tais ações. Não é difícil, e com habilidade e cuidado suficiente para não é demorado.

Referindo-se ao método segundo a solução das equações não homogéneos: método de Bernoulli. Que abordagem é mais rápido e mais fácil – é até você.

Assim, quando resolver este método, nós precisamos fazer a substituição: y = k * n. Aqui, K e n – algumas funções dependendo x. Em seguida, o derivado será semelhante: y '= K' * n + k * n'. Substituto duas substituições na equação:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grupo up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Agora é necessário igualar a zero, que está entre parênteses. Agora, se você combinar as duas equações resultantes, obtemos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem a ser resolvido:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

A primeira igualdade decidir como a equação de costume. Para fazer isso, você precisa separar as variáveis:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Tomamos a integral e obtemos: ln (n) = x ^2/2. Então, se nós expressamos n:

n = e ^{x2 / 2.}

Agora substitua a equação resultante para a segunda equação:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

E transformando, obtemos a mesma equação como no primeiro método:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Nós também não vamos discutir novas medidas. Diz-se que pelo equações diferenciais primeiros primeira ordem solução provoca dificuldades consideráveis. No entanto, uma imersão mais profunda no tópico está começando a ficar melhor e melhor.

Onde estão equações diferenciais?

equações diferenciais muito ativos usados na física, como quase todas as leis básicas são escritos em forma diferencial, e essas fórmulas, que vemos – uma solução para estas equações. Em química, eles são usados pela mesma razão: as leis básicas são derivadas através deles. Em biologia, as equações diferenciais são utilizados para modelar o comportamento de sistemas, tais como predador – presa. Eles também podem ser usados para criar modelos de reprodução, por exemplo, as colónias de microrganismos.

Como equações diferenciais ajudar na vida?

A resposta a esta pergunta é simples: nada. Se você não é um cientista ou engenheiro, é improvável que eles serão úteis. No entanto, não faz mal para saber o que a equação diferencial e é resolvido para o desenvolvimento global. E então a questão de um filho ou filha, "o que é uma equação diferencial?" não colocá-lo em um beco sem saída. Bem, se você é um cientista ou engenheiro, então você sabe a importância deste tópico em qualquer ciência. Mas o mais importante, que agora para a pergunta "como resolver a equação diferencial de primeira ordem?" você sempre será capaz de dar uma resposta. Concordo, é sempre bom quando você percebe que o que as pessoas têm medo até de descobrir.

Os principais problemas no estudo

O principal problema na compreensão deste tópico é um mau hábito de funções de integração e diferenciação. Se você está desconfortável ASSUME derivadas e integrais, é provavelmente vale mais a aprender, a aprender diferentes métodos de integração e diferenciação, e só depois avançar para o estudo do material que foi descrito no artigo.

Algumas pessoas ficam surpresas ao saber que dx podem ser transferidas, como anteriormente (na escola) argumentou que a fração dy / dx é indivisível. Então você precisa ler a literatura sobre o derivativo e entender que é a atitude de quantidades infinitamente pequenas, que podem ser manipuladas na resolução de equações.

Muitas pessoas não percebem imediatamente que a solução de equações diferenciais de primeira ordem – esta é muitas vezes uma função ou neberuschiysya integral, e esta ilusão dá-lhes um monte de problemas.

O que mais pode ser estudado para entender melhor?

É melhor começar ainda mais imersão no mundo do cálculo diferencial de livros especializados, por exemplo, na análise matemática para estudantes de especialidades não-matemáticos. Você pode então mover-se para a literatura mais especializada.

Diz-se que, além do diferencial, ainda existem equações integrais, assim você sempre terá algo por que lutar e o que estudar.

conclusão

Esperamos que depois de ler este artigo você terá uma idéia do que as equações diferenciais e como resolvê-los corretamente.

Em qualquer caso, a matemática de qualquer forma útil para nós na vida. Desenvolve lógica e atenção, sem a qual todo homem, pois sem as mãos.