A série Maclaurin e a decomposição de certas funções

O aluno da matemática superior deve saber que a soma de algumas séries de poder pertencentes ao intervalo de convergência da série dada é uma função diferenciada que é contínua e infinitamente muitas vezes. A questão surge: é possível afirmar que uma função arbitrária dada f (x) é a soma de uma série de energia? Ou seja, em que condições o f-th f (x) pode ser representado por uma série de energia? A importância desta questão é que é possível substituir aproximadamente f-xf (x) pela soma de vários primeiros termos da série de energia, ou seja, um polinômio. Tal substituição de uma função por uma expressão bastante simples – um polinômio – também é conveniente na resolução de certos problemas de análise matemática, a saber: na resolução de integrais, no cálculo de equações diferenciais e assim por diante.

Está provado que para alguma função f (x), na qual é possível calcular as derivadas até (n + 1) – a ordem, incluindo a última, em uma vizinhança de (α – R; X ₀ + R) de algum ponto x = α, a seguinte fórmula é válida:

Esta fórmula tem o nome do famoso cientista Brooke Taylor. A série que é obtida da anterior foi denominada série Maclaurin:

Uma regra que torna possível se decompor em uma série Maclaurin:

1. Determine os derivados do primeiro, segundo e terceiro … pedidos.
2. Calcule o que os derivados em x = 0 são iguais.
3. Registre a série Maclaurin para uma determinada função e, em seguida, determine o intervalo de sua convergência.
4. Determine o intervalo (-R; R), onde o restante da fórmula Maclaurin

R _n (x) -> 0 como n → ∞ do infinito. No caso em que existe, a função f (x) deve coincidir com a soma da série Maclaurin.

Consideramos agora a série Maclaurin para funções individuais.

1. Assim, o primeiro é f (x) = e ^x . Claro, em termos de suas características, tal função possui derivadas de ordens muito diferentes e f ^(k) (x) = e ^x , onde k é igual a todos os números naturais. Nós substituímos x = 0. Nós obtemos f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 … Procedendo do exposto, a série e ^x Será assim:

2. A série Maclaurin para a função f (x) = sin x. Esclarecemos imediatamente que a função φ para todos os desconhecidos possui derivadas, além disso, f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) …, f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), onde k é igual a qualquer número natural. Ou seja, ao fazer cálculos simples, podemos chegar à conclusão de que a série para f (x) = sin x será da forma:

3. Agora vamos tentar considerar a função f (x) = cos x. Possui derivados de ordem arbitrária para todas as incógnitas, e | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 … Novamente, fazendo certos cálculos, percebemos que a série para f (x) = cos x será assim:

Então, enumeramos as funções mais importantes que podem ser decompostas na série Maclaurin, mas são complementadas por séries de Taylor para algumas funções. Agora nós os listamos. Também vale a pena notar que as séries Taylor e Maclaurin são uma parte importante do workshop de resolução de séries em matemática superior. Então, a série de Taylor.

1. A primeira é a série para a função f (x) = ln (1 + x). Como nos exemplos anteriores, para um dado f (x) = ln (1 + x) podemos adicionar uma série usando a forma geral da série Maclaurin. No entanto, para esta função, a série Maclaurin pode ser obtida muito mais simples. Integrando algumas séries geométricas, obtemos uma série para f (x) = ln (1 + x) de tal amostra:

2. E o segundo, que será final em nosso artigo, será uma série para f (x) = arctg x. Para x pertencente ao intervalo [-1; 1], a expansão é válida:

Isso é tudo. Neste artigo, foram consideradas as séries mais utilizadas de Taylor e Maclaurin em matemática superior, em particular, em universidades econômicas e técnicas.