Problemas sobre a área da praça e muito mais

Um lugar tão incrível e familiar. É simétrico sobre o seu centro e os eixos desenhados ao longo das diagonais e através dos centros dos lados. E procurar a área de um quadrado ou seu volume não faz muito esforço. Especialmente se o comprimento de seu lado é conhecido.

Algumas palavras sobre a figura e suas propriedades

As duas primeiras propriedades estão relacionadas à definição. Todos os lados da figura são iguais entre si. Afinal, o quadrado é o quadrilátero direito. E ele necessariamente todos os lados são iguais e os ângulos têm o mesmo valor, ou seja, 90 graus. Esta é a segunda propriedade.

O terceiro está relacionado ao comprimento das diagonais. Eles também são iguais entre si. E se cruzam perpendicularmente e nos pontos do meio.

Uma fórmula na qual apenas o comprimento do lado é usado

Primeiro sobre a designação. Para o comprimento do lado, é costume escolher a letra "a". Em seguida, o quadrado do quadrado é calculado pela fórmula: S = a ² .

É facilmente obtido daquele conhecido para o retângulo. Nela, o comprimento e a largura são multiplicados. Para um quadrado, esses dois elementos são iguais. Portanto, o quadrado dessa quantidade aparece na fórmula.

A fórmula em que o comprimento da diagonal aparece

É a hipotenusa no triângulo, cujas pernas são as pernas da figura. Portanto, podemos usar a fórmula do teorema de Pitágoras e derivar uma igualdade em que o lado é expresso através da diagonal.

Realizando tais transformações simples, obtemos que o quadrado do quadrado através da diagonal é calculado pela seguinte fórmula:

S = d 2/2 . Aqui a letra d denota a diagonal do quadrado.

Fórmula ao redor do perímetro

Nesta situação, é necessário expressar o lado através do perímetro e substituí-lo na fórmula da área. Uma vez que existem quatro lados da figura, o perímetro terá que ser dividido por 4. Este será o valor do lado, que pode ser substituído no inicial e na área do quadrado.

A fórmula em geral é a seguinte: S = (P / 4) ² .

Tarefas de liquidação

No. 1. Há um quadrado. A soma de seus dois lados é de 12 cm. Calcule a área do quadrado e seu perímetro.

A solução. Uma vez que a soma dos dois lados é dada, você precisa saber o comprimento de um. Como eles são iguais, o número conhecido deve simplesmente ser dividido em dois. Ou seja, o lado desta figura é de 6 cm.

Em seguida, seu perímetro e área podem ser facilmente calculados a partir das fórmulas acima. O primeiro é de 24 cm e o segundo é de 36 cm ² .

Resposta. O perímetro do quadrado é de 24 cm, e sua área é de 36 cm ² .

No. 2. Descubra a área do quadrado com um perímetro de 32 mm.

A solução. É suficiente substituir o valor do perímetro pela fórmula acima. Embora você possa primeiro conhecer o lado do quadrado e, em seguida, sua área.

Em ambos os casos, as ações primeiro irão para a divisão, e depois a exponenciação. Cálculos simples levam ao fato de que a área do quadrado apresentado é de 64 mm ² .

Resposta. A área requerida é 64 mm ² .

O lado do quadrado é de 4 dm. Dimensões do retângulo: 2 e 6 dm. Qual das duas figuras tem mais área? Quanto?

A solução. Deixe o lado do quadrado ser denotado pela letra a ₁ , então o comprimento e a largura do retângulo a ₂ e ₂ . Para determinar a área de um quadrado, o valor de um ₁ deve ser quadrado e o retângulo é multiplicado por um ₂ e por ₂ . É fácil.

Acontece que o quadrado do quadrado é 16 dm ² e o retângulo é 12 dm ² . Obviamente, a primeira figura é maior que a segunda. Isto apesar do fato de serem iguais, ou seja, eles têm o mesmo perímetro. Para verificar, você pode contar os perímetros. Na praça, o lado deve ser multiplicado por 4, será 16 dm. No retângulo, dobre os lados e multiplique por 2. Haverá o mesmo número.

Na tarefa ainda é necessário responder, em quantas áreas diferem. Para fazer isso, um número menor é subtraído de um número maior. A diferença é 4 dm ² .

Resposta. As áreas são 16 dm ² e 12 dm ² . Na praça é mais por 4 dm ² .

O problema da prova

Condição. O quadrado é construído na perna de um triângulo direito isósceles. A sua altura de hipotenusa é construída em que outro quadrado é construído. Prove que a área da primeira é duas vezes maior do que a segunda.

A solução. Apresentamos a notação. Deixe o cateter ser igual a a, e a altura para a hipotenusa, x. A área do primeiro quadrado é S ₁ , a segunda é S ₂ .

O quadrado do quadrado construído na perna é fácil de calcular. Acontece ser um ² . Com o segundo valor, tudo não é tão simples.

Primeiro, você precisa saber o comprimento da hipotenusa. Para isso, a fórmula do teorema de Pitágoras é útil. Transformações simples levam à seguinte expressão: a√2.

Uma vez que a altura em um triângulo isósceles desenhado para a base também é uma mediana e uma altura, ele divide um grande triângulo em dois triângulos direitos isósceles iguais. Portanto, a altura é metade da hipotenusa. Ou seja, x = (a√2) / 2. Por isso, é fácil descobrir a área S ₂ . É obtido como 2/2.

Obviamente, os valores registrados diferem exatamente por um fator de dois. E o segundo é um número menor de vezes. Como exigido para provar.

Um enigma incomum – tangram

É feito de uma praça. É necessário cortá-lo em várias formas de acordo com certas regras. As peças totais devem ser 7.

As regras assumem que, durante o jogo, todos os detalhes resultantes serão usados. Destes, você precisa fazer outras formas geométricas. Por exemplo, um retângulo, um trapezoide ou um paralelogramo.

Mas é ainda mais interessante quando silhuetas de animais ou objetos são obtidos das peças. E verifica-se que a área de todas as figuras derivadas é igual à do quadrado inicial.