Que é tangente ao círculo? Propriedades da tangente ao círculo. A tangente comum aos dois círculos

Secantes, tangentes – tudo isso centenas de vezes podia ser ouvido sobre as lições de geometria. Mas a questão da escola atrás, passar de ano, e todo esse conhecimento esquecido. O que devo lembra-se?

essência

O termo "tangente ao círculo" sinal, talvez, tudo. Mas é improvável que tudo vai rapidamente formular uma definição. Enquanto isso chamado de uma linha tangente encontra-se no mesmo plano que o círculo que intercepta-lo apenas num ponto. Sua miríade podem existir, mas todos eles têm as mesmas propriedades, que serão discutidos abaixo. Como você pode imaginar, o ponto de contato designado para o lugar onde o círculo ea linha cruzam. Em cada caso, é um, se houver mais, então será transversal.

A história da descoberta e estudo

O conceito de uma tangente apareceu nos tempos antigos. A construção destas linhas para o primeiro círculo, e em seguida, para as elipses, parábolas e hipérboles com uma régua e um compasso realizada ainda nas fases iniciais do desenvolvimento da geometria. Claro, a história não preservou o nome do descobridor, mas é claro que, mesmo naquela época as pessoas eram bem conhecidas propriedades de tangente ao círculo.

Nos tempos modernos, o interesse neste fenômeno eclodiu novamente – começou uma nova rodada de estudo deste conceito em conjunto com a abertura de novas curvas. Assim, Galileu introduziu o conceito de cycloid e Fermat e Descartes construiu uma tangente a ele. Quanto aos círculos, ao que parece, é para os segredos antigos ficaram na área.

Propriedades

Raio desenhada para o ponto de intersecção será perpendicular à linha. esta principal, mas não a única propriedade que é tangente ao círculo. Outra característica importante já inclui duas retas. Assim, através de um único ponto, que se encontra fora do círculo, é possível tirar duas tangentes, e os seus comprimentos são iguais. Há um outro teorema sobre este assunto, mas raramente é realizada no âmbito do curso de escola padrão, mas é extremamente útil para resolver certos problemas. Ele é o seguinte. De um ponto localizado fora do círculo, desenhe uma tangente e secante a ela. segmentos formados AB, AC e AD. A – a intersecção das linhas, B, o ponto de tangência, C e D – cruzamento. Neste caso, a seguinte equação é válida: o comprimento da tangente ao círculo, quadrado, é igual ao produto dos segmentos AC e AD.

A partir do exposto, há um corolário importante. Para cada ponto do círculo, você pode construir uma tangente, mas apenas um. A prova disso é muito simples: em teoria para baixo perpendicular a partir do raio, nós descobrimos que formavam um triângulo não pode existir. E isso significa que a tangente – o único.

edifício

Entre outras tarefas na geometria é uma categoria especial, como regra, não é amado por alunos e estudantes. Para resolver as tarefas desta categoria só precisa de uma bússola e uma régua. É a tarefa de construção. Lá eles construir em uma tangente.

Assim, dado um círculo e um ponto deitado fora das suas fronteiras. E você precisa navegar por eles tangente. Como você faz isso? Primeiro de tudo, você precisa para passar o intervalo entre o centro do círculo O e ponto definido. Então, com a ajuda de uma bússola deve dividi-lo ao meio. Para fazer isso, você deve definir o raio – pouco mais da metade da distância entre o centro do círculo e o ponto original. Então você precisa para construir dois arcos que se cruzam. O raio na mudança não deve ser o compasso, e o centro de cada lado do círculo será o ponto inicial, e ó, respectivamente. Lugares arcos cruzamentos precisa conectar esse corte seção ao meio. Pergunte no raio bússola igual à distância. Além disso, com o centro no cruzamento para construir um outro circulo. Ele irá basear-se tanto o ponto inicial, e O. Neste caso, haverá dois cruzamentos com este problema em um círculo. Que eles serão pontos de contato para o ponto de início especificado.

interessante

Ele está construindo uma tangente ao círculo levou ao nascimento cálculo diferencial. O primeiro trabalho sobre este assunto foi publicado pelo famoso matemático alemão Leibniz. É prevista a possibilidade de encontrar os máximos, mínimos e tangentes, independentemente das quantidades fracionadas e irracionais. Bem, agora ele é usado para muitos outros cálculos.

Além disso, a tangente ao círculo associado com o sentido tangente geométrico. É a partir deste, e seu nome vem. Traduzido do tangens Latina – "tangente". Assim, este conceito não é apenas uma geometria e cálculo diferencial, mas com a trigonometria.

dois círculos

Nem sempre tangente zatragivet apenas uma figura. Se você pode gastar muitas linhas a um círculo, então porque não vice-versa? Possível. Isso é apenas o problema neste caso é sério complicado, porque a tangente aos dois círculos não pode passar através de qualquer ponto, e a posição relativa de todos estes números podem ser muito diferente.

Tipos e variedades

Quando se trata dos dois círculos e uma ou mais linhas, então, mesmo se você sabe que se trata, não é imediatamente claro como todas estas peças estão dispostas em relação uns aos outros. Nesta base, há diversas variedades. Assim, o círculo pode ter um ou dois pontos comuns, ou mesmo nenhum. No primeiro caso, eles se sobrepõem, ea segunda – para tocar. E aqui estão duas variedades. Se um círculo, como se fosse incorporado no segundo, o toque é chamada interna se não – então o lado de fora. Entenda a posição relativa das peças não só pode basear-se no desenho, mas ter informações sobre a soma de seus raios e a distância entre seus centros. Se estes dois valores são iguais, então os círculos tocar. Se o primeiro mais – se cruzam e outros – não têm pontos comuns.

Assim é com linhas retas. Para quaisquer dois círculos não ter pontos comuns podem ser
construir quatro tangentes. Dois deles se sobrepõem entre as figuras, eles são chamados interno. Um par de outros – externo.

Se estamos a falar de círculos, que têm um ponto em comum, o problema a sério simplificada. O fato é que, em qualquer acordo mútuo, neste caso a tangente eles terão apenas um. E vai passar pelo ponto de interseção. Assim que o edifício não vai causar dificuldades.

Se os valores estão dois pontos de intersecção, em seguida, eles podem ser construídos linha tangente ao círculo como a um, e a segunda, mas só do lado de fora. A solução para este problema é semelhante ao que é discutido mais tarde.

Enfrentar os desafios

Ambos tangente interna e externa para os dois círculos do edifício não são tão simples, embora, e este problema está resolvido. O facto do padrão auxiliar é utilizado para isso, de modo figurado um tal método sozinho É bastante problemático. Assim, dado dois círculos com raios diferentes e centros O1 e O2. Para eles, a necessidade de construir dois pares de tangentes.

Primeiro de tudo, sobre o centro do círculo maior para construir apoio. Ao mesmo tempo, na bússola deve ser definida a diferença entre os raios das duas figuras originais. A partir do centro da tangente do círculo mais pequeno que o auxiliar construída. Depois de que O1 e O2 são realizadas perependikulyary estes recta até à intersecção com os valores originais. Como se segue a partir das propriedades básicas da tangente, os pontos necessários encontram-se em ambos os círculos. O problema é resolvido, pelo menos em sua primeira parte.

A fim de construir tangentes internas tem que resolver quase um problema semelhante. Mais uma vez, precisamos de uma figura auxiliar, mas desta vez o seu raio é igual à soma do original. Para sua construção tangente a partir do centro de um desses círculos. Quanto mais claro da decisão pode ser entendida a partir do exemplo anterior.

A tangente ao círculo, ou mesmo dois ou mais – não é uma tarefa tão difícil. Claro, os matemáticos têm deixado muito tempo para resolver problemas semelhantes manualmente e confiar calcular programas especiais. Mas não pense que é agora não necessariamente ser capaz de fazê-lo sozinho, porque para uma formulação correta da tarefa para o computador para fazer muito e entender. Infelizmente, há temores de que após a transição final para o formulário de teste de problemas de controle de conhecimento sobre a construção fará com que os alunos mais e mais dificuldades.

Como para encontrar as tangentes comuns a mais círculos, nem sempre é possível, mesmo que eles se encontram no mesmo plano. Mas, em alguns casos, é possível encontrar uma tal linha.

exemplos da vida

A tangente comum aos dois círculos é freqüentemente encontrado na prática, embora nem sempre é clara. Transportadores, sistemas modulares, transmissão correias polias, tensão da linha em uma máquina de costura, mas mesmo apenas uma corrente de bicicleta – todos os exemplos de vida. Portanto, não acho que os problemas geométricas permanecem só na teoria: em engenharia, física, construção e muitas outras áreas estão em uso prático.