álgebra booleana. álgebra da lógica. Elementos de lógica matemática

No mundo de hoje estão cada vez mais usando uma variedade de máquinas e gadgets. E não apenas quando é necessário aplicar força sobre-humana, literalmente: mover a carga para elevá-la à altura, cavar trincheira longa e profunda, etc. Cars hoje recolher robôs, o alimento é cozido Multivarki e cálculos aritméticos elementares produzir calculadoras … Mais e mais frequentemente ouvimos a frase "álgebra booleana". Talvez o tempo veio a compreender o papel dos seres humanos na criação de robôs e máquinas a capacidade de resolver não só matemática, mas também problemas lógicos.

lógica

Na lógica grega – um sistema ordenado de pensamento que cria a relação entre as condições dadas e permite fazer inferências baseadas em suposições e estimativas. Muitas vezes, nós pedir uns aos outros: "É lógico" A resposta confirma nossas suposições ou critica a linha de pensamento. Mas o processo não pára por aí: nós continuamos a falar.

Às vezes, o número de condições (entrada) é tão grande, e a relação entre eles é tão confuso e complexo que o cérebro humano não é capaz de "digerir" tudo de uma vez. Você pode precisar de mais de um mês (semana, ano) para a compreensão do que está acontecendo. Mas a vida moderna não nos dá estes intervalos de tempo para tomar decisões. E nós recorrer ao auxílio de computadores. E é aqui que há uma álgebra e lógica, com suas leis e propriedades. Depois de baixar todos os dados originais, que permitem que o computador para reconhecer todos os relacionamentos, para eliminar as contradições e encontrar uma solução satisfatória.

Matemática e lógica

Famosos gotfrid Vilgelm Leybnits formulou o conceito de "lógica matemática", que tarefas eram fáceis de entender apenas um pequeno círculo de estudiosos. De particular interesse é a direção não causou, e para o meio do século XIX da lógica matemática conhecida por poucos.

O grande interesse na comunidade científica causou uma disputa em que o inglês Dzhordzh Bul declarou sua intenção de estabelecer um ramo da matemática, não ter absolutamente nenhum uso prático. Como sabemos da história, neste momento a desenvolver activamente a produção industrial, desenvolvemos todos os tipos de máquinas auxiliares, t. E. Todas as descobertas científicas tiveram uma orientação prática.

Olhando para o futuro, podemos dizer que uma álgebra booleana – o mais utilizado no mundo hoje parte da matemática. Portanto, o seu argumento Buhl perdido.

Dzhordzh Bul

A personalidade do autor merece atenção especial. Mesmo tendo em conta o fato de que no passado as pessoas cresceu antes de nós, ainda deve-se notar que, nos 16 anos de John. Buhl ensinou na escola da aldeia, e a 20 anos abriu sua própria escola em Lincoln. Matemático perfeitamente domina cinco línguas estrangeiras, e em seu tempo livre, estava lendo as obras de Newton e Lagrange. E tudo isso – sobre o filho de um trabalhador comum!

Em 1839, Buhl enviou os seus primeiros artigos científicos no Cambridge Mathematical Journal. Cientista virou 24 anos. O trabalho de Boole é membros para interessados da Royal Society, em 1844, ele recebeu uma medalha por sua contribuição para o desenvolvimento da análise matemática. Alguns artigos publicados na qual os elementos de lógica matemática, matemática permitiram o jovem para assumir o cargo de professor na Faculdade de County Cork foram descritos. Lembre-se que a educação muito Boole não era.

idéia

Em princípio, a álgebra booleana é muito simples. Há declarações (lógicas expressões) que, do ponto de vista da matemática, só pode ser definido em duas palavras: "verdadeiro" ou "falso". Por exemplo, árvores em flor da primavera – a verdade, no verão neva – uma mentira. A beleza da matemática é que não é estritamente necessário para usar apenas números. Para os julgamentos de álgebra se encaixam perfeitamente quaisquer declarações com sentido único.

Assim, a álgebra da lógica pode ser usado literalmente em toda parte: na instrução de programação e escrita, análise de informações conflitantes sobre os eventos e a determinação da sequência de acções. A coisa mais importante – para perceber que não importa como nós determinar a verdade ou falsidade de declarações. A partir destes "como" e "porquê" você precisa ignorar. O que importa é apenas uma declaração de fato: a verdade é uma mentira.

Claro, a programação das funções mais importantes da álgebra da lógica que são gravados com sinais e símbolos apropriados. E aprendê-las – que significa aprender uma nova língua estrangeira. Nada é impossível.

definições e conceitos básicos

Sem entrar em profundidade, lidamos com a terminologia. Assim, a álgebra booleana pressupõe:

• declarações;
• operações lógicas;
• funções e leis.

Demonstrações – Qualquer expressão afirmativa que pode ser interpretada de dois valores. Eles são escritos como números (5> 3) ou palavras familiares formulados (elefante – o maior mamífero). Neste caso, a frase "o pescoço da girafa não é" também tem o direito de existir, apenas a álgebra booleana defini-lo como "uma mentira."

Todas as declarações devem ser inequívocos, mas eles podem ser simples ou composto. O uso recente pacote lógico. E. No composto declarações álgebra julgamentos formado pela adição de operações lógicas elementares.

operações de álgebra booleana

Já lembrar que as operações na álgebra das decisões judiciais – lógico. Assim como a álgebra dos números utilizando as operações aritméticas para somar, subtrair, ou comparar números, elementos lógicos matemáticos permitem fazer declarações complexas, para negar ou para calcular o resultado final.

operações lógicas para a formalização e simplicidade expresso pela fórmula, familiar para nós na aritmética. Propriedades das equações álgebra booleana torná-lo possível gravar e calcular o desconhecido. operações lógicas são geralmente gravadas por tabela verdade. Seus elementos definir colunas e operação de computação efectuadas sobre eles, e as linhas mostram o resultado de cálculos.

lógica básica de ação

O mais comum nas operações de álgebra booleana são negação (NOT), ea lógica AND e OR. Assim é possível descrever praticamente todas as etapas em julgamentos de álgebra. Estudamos em detalhe cada uma das três operações.

A negação (não) é aplicado a apenas um elemento (operando). Portanto, a operação é chamado de negação unário. Para gravar o conceito de "não é um" usando tais símbolos: ¬ A, A ou A !. Em forma de tabela, parece que isso:

A função de negação típico de uma tal declaração: se A é verdadeiro, então A – é falsa. Por exemplo, a lua gira em torno da Terra – a verdade; Terra gira ao redor da lua – uma mentira.

multiplicação lógica e além

E lógico operação é chamada de uma conjunção. O que significa? Em primeiro lugar, que pode ser aplicado a dois operadores, ou seja, I – .. operação binária. Em segundo lugar, é apenas no caso da verdade de ambos os operandos (ambos A e B) é verdadeiro e a própria expressão. O provérbio, "Paciência e um pouco de esforço" implica que apenas dois fatores podem ajudar uma pessoa a lidar com as dificuldades.

símbolos são utilizados para a gravação: A∧B, A⋅B ou A && B.

Conjunção é semelhante à multiplicação em aritmética. Às vezes, e dizer – multiplicação lógica. Se você multiplicar os elementos das linhas da tabela, obtemos um resultado semelhante ao pensamento lógico.

Disjunção é uma operação lógica OR. É verdade, se pelo menos uma das afirmações é verdadeira (A ou B). Está escrito assim: A∨B, A + B ou A || B. a tabela verdade para essas operações são:

Disjunção adição aritmética semelhante. operação de adição lógico tem apenas uma restrição: 1 + 1 = 1. Mas lembre-se que em um formato digital é limitado a lógica matemática 0 e 1 (onde 1 – a verdade, 0 – false). Por exemplo, a afirmação "no museu você pode ver uma obra de arte ou encontrar uma boa empresa" significa que você pode ver obras de arte, e é possível para atender uma pessoa interessante. Ao mesmo tempo, não descarta a possibilidade de realização simultânea de ambos os eventos.

Funções e leis

Então, nós já sabemos que a operação lógica usando álgebra booleana. Funções descrever todas as propriedades dos elementos da lógica matemática, e nos permite simplificar instruções compostas complexas. A mais clara e simples parece propriedade rejeição das operações de derivativos. Por derivados são compreendidos XOR, implicação e equivalência. Como temos lido somente com as operações básicas e, em seguida, a propriedade também está apenas a considerá-los.

Associatividade significa que nas declarações como "A e B e B 'de listagem seqüência dos operandos não importa. A fórmula é escrito da seguinte forma:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Como você pode ver, isso não é exclusivo para o conjunto, mas uma disjunção.

Comutatividade argumenta que o resultado da conjunção ou disjunção não depende de qual item foi considerado desde o início:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributividade permite divulgar colchetes em expressões lógicas complexas. Regras são semelhantes ao parêntese de abertura na multiplicação e adição em álgebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Propriedades da unidade e zero, que pode ser um dos operandos são também semelhantes à multiplicação algébrica de zero ou um, e adição de uma unidade:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency nos diz que se relativamente dois operandos iguais o resultado da operação é o mesmo, você pode "jogar" os operandos complicar raciocínio em excesso. E as operações de conjunção e disjunção são idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Aquisição também nos permite simplificar a equação. Absorção afirma que, quando a expressão é aplicada a um operando, uma outra operação com o mesmo elemento do operando resultado está absorvendo operação.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sequência de operações

A sequência das operações é de grande importância. Na verdade, como para a álgebra, há uma função de prioridade que utiliza uma álgebra booleana. As fórmulas podem ser simplificadas apenas mediante a significância das operações. Ranking das mais significativas para insignificante, obtemos a seguinte sequência:

1. Negação.

2. Conjunção.

3. O disjunção, XOR.

4. A implicação, equivalência.

Como você pode ver, apenas o negação do conjunto e não têm a mesma prioridade. A prioridade da disjunção e XOR são iguais, assim como as prioridades da implicação e equivalência.

Funções de implicação e equivalência

Como já dissemos, além das operações lógicas básicas, lógica matemática e teoria de algoritmos que usam derivados. É na maioria das vezes a implicação e equivalência.

A implicação ou consequência lógica – esta declaração, em que uma ação é uma condição, eo outro – o resultado de sua implementação. Em outras palavras, esta proposta com o pretexto de "se … então". "Depois do jantar vem o acerto de contas." E. Para dirigir a ser apertado na colina trenó. Se não há desejo de se mover para baixo da montanha, e em seguida, arraste o trenó não é necessário. Está escrito assim: A → B ou A⇒B.

Equivalência implica que o efeito líquido ocorre somente quando ambos os operandos são verdadeiras. Por exemplo, a noite dá lugar ao dia, então (e só então), quando o sol nasce no horizonte. Na linguagem da lógica matemática dessa afirmação é escrito como A≡B, A⇔B, A == B.

Outras leis da álgebra booleana

Álgebra julgamento desenvolve, e muitos cientistas interessados para formular novas leis. O mais famoso são considerados postula matemático escocês O. De Morgan. Ele percebeu e deu uma definição de propriedades, tais como perto negação, adição e dupla negativa.

Fechar negação sugere que antes do parêntesis é inegável: não (A ou B) = não A ou B. NÃO

Quando o operando for negado, independentemente do seu valor, dizer sobre adição:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

E, finalmente, a dupla própria negação compensa. Ou seja, antes de qualquer negação operando desaparece ou continua a ser apenas um.

Como resolver testes

Lógica implica equações de simplificação predeterminado. Assim como na álgebra de Lie, é necessário para facilitar ao máximo primeira condição (para se livrar de operações de entrada complicadas, e com eles), em seguida, começar a olhar para uma resposta correta.

O que fazer para simplificar? Converter todos os derivados em uma operação simples. Em seguida, descobrir todos os suportes (ou vice-versa, para fazer os suportes para reduzir este elemento). O passo seguinte deve ser a de utilizar as propriedades de álgebra booleana em prática (propriedades de absorção de zero e um, e t.).

Em última análise, a equação deve consistir de um número mínimo de incógnitas, combinado com operações simples. A maneira mais fácil de procurar uma solução, se você fizer um grande número de negativos próximos. Então a resposta irá aparecer como se por si só.