O derivado do seno do ângulo é igual ao coseno do ângulo mesma

Dana função trigonometria simples y = sin (X), é diferenciável em cada ponto de todo o domínio. Temos de provar que o derivado do seno de qualquer argumento é igual ao coseno do mesmo ângulo, isto é, '= cos (x).

A prova é baseada na definição de uma função derivada

Nós definimos x (arbitrárias) em um pequeno bairro de um determinado ponto x? H _0. Vamos mostrar o valor da função nela, e no ponto x para encontrar o incremento de uma dada função. Se ÔH – argumento incrementado, o novo argumento – neste x ₀ +? X = x, o valor desta função para um dado valor do argumento (x) é igual Sin (x ₀ + Ax), o valor da função de um determinado ponto (x ₀₎ também é conhecida .

Agora temos? U = sin (x ₀ + SH) -sin (x ₀₎ – função de incremento obtido.

De acordo com a fórmula da soma seno de dois ângulos desiguais vamos converter a diferença? U.

? U = sin (X ₀₎ · Cos (? H) + cos (x ₀₎ · Sin (? X) menos Sin (x ₀₎ = (Cos (Ax) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Sin (ÔH).

termos de permutação realizados agrupados primeiro ao terceiro Pecado (x _0), retirado o fator comum – sine – os suportes. Nós recebido na expressão Cos diferença (? H) -1. Ele deixou para alterar o sinal na frente do parênteses e colchetes. Saber o que é o 1-Cos (SH), nós fazer a mudança e obter uma expressão simplificada? U, que é então dividido pela SH.
? U / ÔH terá a forma: cos (x ₀₎ · Sin (? H) / 2? H · Sin ² (0,5 x? H) · Sin (x ₀₎ / ÔH. Esta é a razão entre o incremento da função para a admissão para o incremento do argumento.

Resta encontrar o limite das relações obtidas por nós durante ÔH lim, tendendo a zero.

Sabe-se que o limite Sin (? H) /? x é igual a 1, com a condição de. E a expressão 2 · Sin ² (0,5 x? H) / ÔH nas soma resultante transformações particulares a um produto contendo como primeiro multiplicador limite notável: o numerador da fracção e znemenatel divisão por dois, o quadrado do seno substituir produto. Veja como:
(Sin (0,5? X ·) / (0,5 · Ax)) · Sin (? X / 2).
O limite desta expressão quando ÔH tende a zero, será igual ao número de zero (0 multiplicado por 1). Verifica-se que o limite da relação de Ay / ÔH é cos (x ₀₎ · 1-0, este é cos (x _0), a expressão de que é independente da ÔH tendendo a 0. A conclusão: o derivado do seno de qualquer ângulo é igual ax cosseno de x, pode ser escrita como: y '= cos (x).

A fórmula resultante está listada na tabela dos derivados conhecidos, onde todas as funções elementares

Na resolução de problemas, onde ele se encontra com o derivado do seno, você pode usar as regras de diferenciação e fórmulas prontas da tabela. Por exemplo: encontrar a derivada da função simples y = 3 · sen (x) -15. Usamos o fator numérico remoção regras de derivação fundamental para o sinal da derivada e calcular o número constante derivado (que é zero). Aplicar um valor da tabela de seno do derivado do ângulo x igual cos (x). Receber a resposta: y '= 3 · cos (x) -O. Este derivado, por sua vez, é também um elementar função y = H · cos (x).

A derivada de seno quadrado de qualquer argumento

No cálculo da expressão (Pecado ² (x)) 'deve se lembrar função complexa como diferenciado. Então, ² = sin (x) – é uma função de potência como seno quadrado. Seu argumento também é uma função trigonométrica, um argumento complexo. O resultado neste caso é igual ao produto do primeiro multiplicador é um quadrado do derivado de complexo do argumento, e o segundo – o derivado do seno. Aqui é a regra para a diferenciação em função de uma função: (u (v (x))) 'é (u (v (x)))' · (v (x))'. Expressão de v (x) – um argumento complexo (função interna). Se a função dada "y iguala o seno quadrado x", em seguida, o derivado de esta função compósito é y '= 2 · sen (x) · cos (x). O produto do primeiro multiplicador duplicou – derivado conhecido função exponencial, e cos (x) – seio derivado complexo argumento da função quadrática. O resultado final pode ser transformado, utilizando a fórmula do seno trigonométrica do ângulo duplo. A: O derivado é Sin (2 x ·). Esta fórmula é fácil de lembrar, é muitas vezes usado como uma mesa.