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trapézio equilátero Diagonal. Qual é a linha do meio do trapézio. Tipos de trapézios. Trapeze – lo ..

Trapézio – um caso especial de um quadrilátero, em que um par de lados é paralelo. O termo "trapézio" é derivado da τράπεζα palavra grega, que significa "mesa", "mesa". Neste artigo, vamos olhar para os tipos de trapézio e suas propriedades. Além disso, nós olhamos como para calcular os elementos individuais da figura geométrica. Por exemplo, a diagonal de um trapézio equilátero, a linha do meio, a área e outros. O material contido na geometria estilo popular elementar, t. E. Em uma forma facilmente acessível.

visão global

Primeiro, vamos entender o que um quadrilátero. Este valor é um caso especial de um polígono com quatro lados e quatro vértices. Dois vértices de um quadrilátero, que não são adjacentes, chamados oposto. O mesmo pode ser dito sobre os dois lados n adjacentes. Os principais tipos de pátios – um paralelogramo, retângulo, losango, quadrado, trapézio e deltóide.

Então, de volta para o trapézio. Como já dissemos, este número os dois lados são paralelos. Eles são chamados de bases. Os outros dois (não-paralelo) – os lados. Os materiais dos diversos exames e exames, muitas vezes, você pode enfrentar os desafios associados com trapézios cuja solução muitas vezes requer o conhecimento do aluno não abrangidos pelo programa. Escola geometria curso introduz os alunos com propriedades e diagonais ângulos, bem como a linha mediana de um trapézio isósceles. Mas diferente do que a que se refere a uma forma geométrica tem outras características. Mas sobre eles mais tarde …

tipos de trapézio

Existem muitos tipos desta figura. No entanto, na maioria das vezes costuma-se considerar dois deles – isósceles e retangular.

1. trapezoidal retangular – uma figura na qual um dos lados perpendiculares à base. Ela tem dois ângulos são sempre igual a noventa graus.

2. trapézio isósceles – uma figura geométrica cujos lados são iguais. Então, e os ângulos da base também são iguais.

Os principais princípios de métodos para estudar as propriedades do trapézio

Os princípios básicos incluem o uso de chamada abordagem tarefa. Na verdade, não há necessidade de entrar em uma geometria teórica curso de novas propriedades desta figura. Eles podem ser abertos ou em processo de formulação das várias tarefas (melhor sistema). É muito importante que o professor sabe quais as tarefas que você precisa colocar na frente dos alunos a qualquer momento do processo de aprendizagem. Além disso, cada propriedade trapézio pode ser representado como uma tarefa fundamental no sistema de tarefas.

O segundo princípio é o chamado organização espiral do estudo "notáveis" propriedades trapézio. Isto implica um retorno ao processo de aprendizagem para as características individuais da figura geométrica. Assim, os alunos mais fáceis de se lembrar deles. Por exemplo, a propriedade dos quatro pontos. Pode ser provado como no estudo de similaridade e, posteriormente, usando vetores. A igual triângulos adjacentes aos lados da figura, é possível comprovar, utilizando não só as propriedades de triângulos com alturas iguais conduzidas para os lados, dos quais se encontram numa linha recta, mas também utilizando a fórmula S = 02/01 (ab * sinα). Além disso, é possível elaborar a lei de senos ao trapézio inscritas ou triângulo retângulo e trapézio descrito no t. D.

O uso de "extracurricular" apresenta uma figura geométrica no conteúdo do curso escolar – um tasking seu ensino tecnologia. referência constante para estudar as propriedades da passagem do outro permite que os alunos a aprender o trapézio mais profunda e garante o sucesso da tarefa. Assim, procede-se ao estudo desta figura notável.

Elementos e as propriedades de um trapézio isósceles

Como já observamos, nesta figura geométrica lados são iguais. No entanto, ele é conhecido como um trapézio direito. E o que é tão notável e por isso tem o seu nome? As características especiais deste valor diz respeito que ela tem não só lados iguais e ângulos na base, mas também na diagonal. Além disso, a soma dos ângulos de um trapézio isósceles é igual a 360 graus. Mas isso não é tudo! Apenas cerca de isósceles pode ser descrito por um círculo de todos os trapézios conhecidos. Isto é devido ao facto de que a soma dos ângulos opostos nesta figura é de 180 graus, e somente sob esta condição pode ser descrito como um círculo em torno do quadrilátero. As seguintes propriedades da figura geométrica é que a distância entre o topo da base para a projecção dos picos opostos sobre a linha de base que contém este será igual à linha média.

Agora vamos olhar para a forma de encontrar os cantos de um trapézio isósceles. Considere uma solução para este problema, desde que o tamanho das partes figura conhecida.

decisão

É habitual para designar as letras quadrilátero A, B, C, D, onde a BS e BP – uma base. Em um trapézio isósceles os lados são iguais. Assumimos que o seu tamanho é igual a dimensões X e Y são bases e Z (menor e maior, respectivamente). Para o cálculo do ângulo da necessidade de gastar na altura H. O resultado é um triângulo retângulo ABN onde AB – a hipotenusa, e BN e AN – as pernas. Calcular o tamanho de uma perna: subtrair a partir da base maior mínimo, e o resultado é dividido por 2. gravação uma fórmula: (ZY) / 2 = F. Agora, para calcular o ângulo agudo da função cos uso triângulo. Obtém-se o seguinte entrada: cos (β) = X / F. Agora calcular o ângulo: β = Arcos (X / F). Além disso, saber um canto, podemos determinar e, segundo, para fazer esta operação aritmética elementar: 180 – β. Todos os ângulos são definidos.

Há também uma segunda solução deste problema. No início é omitida a partir do canto na altura da perna N. calcula o valor da BN. Sabemos que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Obtemos: BN = √ (X2 F2). Em seguida, usamos a função tg trigonométricas. O resultado é: β = arctg (BN / F). O ângulo agudo é encontrado. Em seguida, definimos um ângulo obtuso como no primeiro método.

A propriedade das diagonais de um trapézio isósceles

Primeiro, escrever as quatro regras. Se a diagonal em um trapézio isósceles são perpendiculares, em seguida:

– a altura da figura é igual à soma de bases, dividido por dois;

– a sua altura e a linha média são iguais;

– área do trapézio é igual ao quadrado da altura (linha de centro a bases de meio);

– o quadrado da diagonal de um quadrado é igual a metade da soma de duas vezes as bases quadradas ou linha média (altura).

Agora olhe para a fórmula que define a diagonal um trapézio equilátero. Esta peça de informação pode ser dividido em quatro partes:

1. Fórmula comprimento diagonal através do seu lado.

Assumimos que A é – uma base inferior, B – Topo, C – lados iguais, D – diagonal. Neste caso, o comprimento pode ser determinado como se segue:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Fórmula para o comprimento da diagonal do co-seno.

Assumimos que A é – uma base inferior, B – Topo, C – lados iguais, D – diagonal, α (na base inferior) e β (a base superior) – cantos trapezoidais. Obtemos a seguinte fórmula, pelo qual se pode calcular o comprimento da diagonal:

– D = √ (A2 + * C * S2-2A cosα);

– D = √ (A2 + * C * S2-2A cosβ);

– D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

– D = √ (B2 + * C S2-2V cosα *).

3. Fórmula comprimento diagonal de um trapézio isósceles.

Assumimos que A é – uma base inferior, B – superior, D – diagonal, M – linha intermediária H – altura, P – área do trapézio, α e β – o ângulo entre as diagonais. Determinar o comprimento das fórmulas seguintes:

– D = √ (M2 + N2);

– D = √ (H + 2 (A + B) 2/4);

– D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Para este caso, a igualdade: sinα = sinβ.

4. Fórmula comprimento diagonal através dos lados e altura.

Assumimos que A é – uma base inferior, B – Topo, C – lados, D – diagonal, H – altura, α – ângulo com a base inferior.

Determinar o comprimento das fórmulas seguintes:

– D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

– D = √ (H2 + (B + F ctgα *) 2);

– D = √ (A2 + * S2-2A √ (C2-H2)).

Elementos e as propriedades de um trapézio rectangular

Vamos olhar para o que estão interessados nesta figura geométrica. Como já dissemos, nós temos um trapézio rectangular dois ângulos retos.

Além da definição clássica, há outros. Por exemplo, um trapézio rectangular – um trapézio, em que um lado é perpendicular à base. Ou forma, tendo em ângulos secundários. Neste tipo de altura trapézios é o lado que é perpendicular às bases. A linha do meio – um segmento que liga os pontos médios dos dois lados. A propriedade do referido elemento é que é paralelo às bases e igual a metade desta soma.

Agora vamos considerar as fórmulas básicas que definem as formas geométricas. Para fazer isso, assumimos que A e B – base; C (perpendicular à base) e D – os lados do trapézio rectangular, M – linha do meio, α – ângulo agudo, P – área.

1. O lado perpendicular às bases, uma figura igual à altura (C = N), e é igual ao comprimento do segundo lado A e o seno do ângulo em α uma base maior (C = A * sinα). Além disso, ele é igual ao produto da tangente das α ângulo agudo e a diferença de bases: C = (A-B) * tgα.

2. O lado D (não perpendicular à base) igual ao quociente entre a diferença de A e B e co-seno de um ângulo agudo em relação à altura privada (α) ou figuras H e ângulo agudo seno: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. O lado que é perpendicular às bases, é igual à raiz quadrada do quadrado da diferença D – o segundo lado – e uma base quadrada diferenças:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Um lado trapézio rectangular é igual à raiz quadrada de uma soma de quadrados de um lado quadrado e bases C de diferença de forma geométrica: (2 C 2 + (A-B)) D = √.

5. O lado C é igual ao quociente do quadrado dobro da soma das suas bases: C = P / H = 2P / (A + B).

6. A área definida pelo produto H (a linha de centro do trapézio rectangular) de altura ou direcção lateral perpendicular às bases: P = M * N = M * C.

7. Posição C é o quociente de duas vezes a forma quadrada pelo ângulo agudo seno o produto e a soma das suas bases: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Fórmula lado de um trapézio rectangular através da sua diagonal, e o ângulo entre eles:

– sinα = sinβ;

– C = (D1 D2 * / (A + B)) * sinα = (D1 D2 * / (A + B)) * sinβ,

onde D1 e D2 – diagonal do trapézio; α e β – o ângulo entre eles.

9. Fórmula lado através de um ângulo na base inferior e outros: A = (A-B) / C = cosα / sinα = H / sinα.

Desde o trapézio com ângulos retos é um caso particular do trapézio, as outras fórmulas que determinam essas figuras, vai se reunir e retangular.

propriedades incircle

Se a condição é dito que em um trapézio inscrito círculo retangular, então você pode usar as seguintes propriedades:

– a quantidade da base é a soma dos lados;

– distância do topo da forma retangular para os pontos de tangência do círculo inscrito é sempre igual;

– altura do trapézio é igual ao lado, perpendicular às bases, e é igual ao diâmetro do círculo ;

– o centro de círculo é o ponto em que se cruzam bissectrizes dos ângulos ;

– se o lado lateral do ponto de contacto é dividida em comprimentos de N e M, em seguida, o raio do círculo é igual à raiz quadrada do produto destes segmentos;

– quadrilátero formada pelos pontos de contacto, a parte superior do trapézio e o centro do círculo inscrito – é um quadrado, cujo lado é igual ao raio;

– área da figura é o produto da razão e o produto da meia-soma de bases na sua altura.

trapézio semelhante

Este tópico é muito útil para estudar as propriedades de figuras geométricas. Por exemplo, a separação diagonal em quatro triângulos trapezóide, e são adjacentes à base de semelhantes, e para os lados – de igual. Esta declaração pode ser chamado de uma propriedade de triângulos, que é trapézio quebrado suas diagonais. A primeira parte desta afirmação é comprovada através do sinal da semelhança dos dois cantos. Para provar que a segunda parte é preferível utilizar o método descrito a seguir.

a prova

Aceitar que figura ABSD (AD e BC – a base do trapézio) é diagonais quebrados HP e AC. O ponto de intersecção – O. Temos quatro triângulos: AOC – na base inferior, BOS – a base superior, ABO e SOD nas laterais. Triângulos SOD e biofeedback têm uma altura comum, nesse caso, se os segmentos de BO e OD são as suas bases. Nós descobrimos que a diferença das suas zonas (P) é igual à diferença destes segmentos: PBO / DOAP = BO / ML = K. Consequentemente, DOAP = PBO / K. Da mesma forma, a AOB triângulos e biofeedback têm uma altura comum. Aceite para os seus segmentos de base SB e OA. Obtemos PBO / PAOB = CO / OA = K e PAOB = PBO / K. Disto se segue que PSOD = PAOB.

Para consolidar os alunos materiais são incentivados a encontrar uma conexão entre as áreas de triângulos obtidos, que é trapézio quebrado suas diagonais, decidindo a próxima tarefa. Sabe-se que as áreas de triângulos Bos e ADP são iguais, é necessário encontrar a área de um trapézio. Desde PSOD = PAOB, então PABSD PBO + = DAOP + 2 * PSOD. A partir da semelhança de triângulos BOS e ANM resulta que BO / OD = √ (PBO / PAOD). Consequentemente, PBO / DOAP = BO / OD = √ (PBO / PAOD). Obter PSOD = √ (* PBO DAOP). Então PABSD PBO + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBO *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

Propriedades similaridade

Continuando a desenvolver este tema, é possível provar, e outras características interessantes dos trapézios. Assim, com a ajuda da semelhança pode revelar-se o segmento de propriedade, que passa através do ponto formado pela intersecção das diagonais da figura geométrica, paralelo ao solo. Para isso, resolver o seguinte problema: é necessário encontrar o segmento RK comprimento que passa através do ponto O. A partir da semelhança de triângulos ADP e SPU resulta que a AO / OS = AD / BS. A partir da semelhança de triângulos ADP e ASB resulta que AB / AC = PO / AD = BS / (PA + BS). Isto implica que o BS * PO = AD / (AD + BC). Da mesma forma, a partir da semelhança de triângulos MLC e ABR resulta que OK * BP = BS / (PA + BS). Isto implica que o OC e V = V = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segmento que passa através do ponto de intersecção das diagonais paralela à base e que liga os dois lados, o ponto de intersecção é dividida ao meio. Seu comprimento – é a média harmônica das figuras razão.

Considere as seguintes características de um trapézio, que é chamado de propriedade de quatro pontos. o ponto de intersecção das diagonais (D), a intersecção da continuação dos lados (E), bem como meados da década de bases (T e G) se encontram sempre na mesma linha. É fácil provar o método de similaridade. Os triângulos resultantes são semelhantes BES e AED, e cada uma incluindo uma mediana ET e DLY dividir o vértice do ângulo E em partes iguais. Por isso, o ponto E, T e M são colineares. Do mesmo modo, na mesma linha são dispostas em termos de T, O, e G. Isto resulta da semelhança de triângulos BOS e ANM. Daí podemos concluir que todos os quatro termos – E, T, S e F – vai mentir sobre uma linha reta.

Usando trapézios semelhantes, podem ser oferecidos aos estudantes para encontrar o comprimento do segmento (LF), que divide a figura em duas semelhante. Este corte tem de ser paralelo às bases. Desde o ALFD LBSF trapézio recebido e semelhante, a BS / LF = LF / AD. Isto implica que LF = √ (BS * BP). Conclui-se que o segmento que se divide em duas trapézio como, tem um comprimento igual à média geométrica dos comprimentos das bases de figuras.

Considere a seguinte propriedade similaridade. Baseia-se o segmento que divide o trapézio em duas partes de igual tamanho. Aceitar esse segmento trapézio ABSD é dividido em dois EH similar. Do alto do B reduziu a altura desse segmento é dividido em duas partes EN – B1 e B2. Obter PABSD / 2 = (BS + EH *) V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (PA + BS) * (B1 + B2) / 2. Além disso compor o sistema, em que a primeira equação (BS + EH) * B1 = (PA + EH) * B2 e segunda (BS + EH) * B1 = (PA + BS) * (B1 + B2) / 2. Daqui resulta que B2 / B1 = (BS + EH) / (PA + EH) e BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Nós descobrimos que o comprimento da divisão do trapézio em duas igual, igual aos comprimentos médios das bases quadrática: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

conclusões de similaridade

Assim, temos provado que:

1. O segmento de ligação a meio do trapézio nas faces laterais, em paralelo com a BP e BS e BS é a média aritmética e (comprimento da base de um trapézio) BP.

2. A barra que passa através do ponto de intersecção S do diagonais AD e BC paralelo irá ser igual aos números médios harmónicas BP e BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. O segmento de quebrar em trapézio semelhante tem um comprimento médio geométrico bases BS e BP.

4. O elemento que divide a forma em duas partes de tamanho igual, um comprimento significam números de quadrados BP e BS.

Para consolidar o material e consciência dos vínculos entre os segmentos do estudante é necessário para construí-los para o trapézio específico. Ele pode facilmente exibir a linha média e o segmento que passa pelo ponto – a intersecção das diagonais das figuras – paralelo ao chão. Mas onde será a terceira e quarta? Esta resposta vai levar o aluno a descoberta da relação desconhecida entre os valores médios.

Segmento que une os pontos médios das diagonais do trapézio

Considere a seguinte propriedade da figura. Nós aceitar que o MN segmento é paralelo às bases e dividir ao meio na diagonal. o ponto de intersecção é chamado o W e S. Este segmento será igual a metade da diferença razão. Vamos examinar isso com mais detalhes. MSH – a linha média do triângulo ABS, é igual à BS / 2. Mini-intervalo – a linha do meio do DBA triângulo, é igual a AD / 2. Então nós achamos que SHSCH = mini-intervalo-MSH, portanto, SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centro de gravidade

Vejamos como definir o elemento para uma determinada figura geométrica. Para fazer isso, você deve estender a base em direções opostas. O que significa? É necessário adicionar a base para o fundo superior – a qualquer das partes, por exemplo, para a direita. Um prolongar inferior ao comprimento da parte superior esquerda. Em seguida, conecte sua diagonal. O ponto de intersecção deste segmento com a linha de centro da figura é o centro de gravidade do trapézio.

Inscrito e descrito trapézio

Vamos lista de características tais figuras:

1. Linha pode ser inscrito em um círculo só se for isósceles.

2. Em torno do círculo pode ser descrito como um trapézio, desde que a soma dos comprimentos das suas bases é a soma dos comprimentos dos lados.

Consequências do círculo inscrito:

1. A altura do trapézio descrito sempre igual a duas vezes o raio.

2. O lado do trapézio descrito é visto a partir do centro do circulo em ângulo recto.

A primeira consequência é óbvia, e para provar o segundo é necessário para estabelecer que o ângulo de SOD é direta, isto é, na verdade, também não será fácil. Mas o conhecimento desta propriedade permite que você use um triângulo direito de resolver problemas.

Agora vamos especificar as consequências para o trapézio isósceles, que está inscrito em um círculo. Obtemos que a altura seja a figura bases médias geométricas: H = 2R = √ (BS * BP). Cumprindo o método básico de resolução de problemas para trapézios (princípio de duas alturas), o estudante deve resolver a seguinte tarefa. Aceitar que BT – a altura das isósceles figuras ABSD. Você precisa encontrar trechos de AT e AP. Aplicando a fórmula descrita acima, ele vai fazer não é difícil.

Agora vamos explicar como determinar o raio do círculo da área descrita trapézio. Omitido a partir da altura superior B na base de BP. Uma vez que o círculo inscrito no trapezoidal, a BS + 2AB = BP ou AB = (BS + BP) / 2. Desde o triângulo ABN achado sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Obter PABSD = (PA + BS) * R, segue-se que R = PABSD / (AD + BC).

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Todas as fórmulas linha média trapézio

Agora é hora de ir para o último item desta figura geométrica. Vamos entender, qual é a linha do meio do trapézio (M):

1. Através de bases: M = (A + B) / 2.

2. Depois da altura, a base e cantos:

• M-H = A * (+ ctgα ctgβ) / 2;

• M + H = D * (+ ctgα ctgβ) / 2.

3. Através de uma altura entre as mesmas e ângulo diagonal. Por exemplo, D1 e D2 – diagonal do trapézio; α, β – o ângulo entre eles:

H = * D1 D2 * sinα / 2 = H D1 D2 * * sinβ / 2H.

4. Dentro da área e a altura: M = R / N.