A equação do plano: como fazer? Tipos de equações de avião

O espaço plano pode ser definida de maneiras diferentes (um ponto e vector, o vector e os dois pontos, três pontos, etc.). É com isso em mente, a equação avião pode ter tipos diferentes. Também sob certas condições avião pode ser paralela, perpendicular, que intersecta, etc. Nesta e vai falar neste artigo. Vamos aprender a fazer a equação geral do avião e não só.

A forma normal da equação

Suponhamos que R é o espaço _3, que tem uma forma rectangular sistema de coordenadas XYZ. Nós definimos um vetor α, os quais serão libertados a partir do ponto de partida O. Através da extremidade dos α vector desenhar o plano P, que é perpendicular a ele.

P denotam a um ponto arbitrário Q = (x, y, z). O raio vetor do ponto Q carta sinal p. O comprimento do vector é igual a α p = IαI e ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Este vector de unidade, o qual é orientado na direcção como vector α. α, β e γ – são ângulos que são formados entre o vector e as direcções positivas ʋ eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projecção de um ponto no vector QεP ʋ é uma constante que é igual a p (p, ʋ) = p (r≥0).

A equação acima é significativo quando p = 0. O único plano n neste caso, seria cruzar ponto O (α = 0), que é a origem, e ʋ unidade vector, libertado a partir do ponto O será perpendicular ao P, embora a sua direcção, o que significa que o ʋ vector determinada até o sinal. equação anterior é o nosso plano P, expressa na forma de vector. Mas, em vista das suas coordenadas é:

P é maior do que ou igual a 0. Nós descobrimos que a equação de plano em forma normal.

A equação geral

Se a equação nas coordenadas multiplicar por qualquer número que não é igual a zero, obtemos a equação equivalente a este que define o próprio avião. Ela terá a seguinte forma:

Aqui, A, B, C – é o número de simultaneamente diferentes de zero. Esta equação é chamada de equação da forma geral do avião.

As equações dos aviões. casos especiais

A equação pode, geralmente, ser modificado com as condições adicionais. Considere alguns deles.

Assume-se que o coeficiente A é 0. Isto indica que o plano paralelo ao eixo pré-determinado Ox. Neste caso, a forma da equação muda: Wu + Cz + D = 0.

Da mesma forma, a forma de equação e irá variar de acordo com as seguintes condições:

• Em primeiro lugar, se B = 0, a equação alterações para Ax + Cz + D = 0, o que indicaria o paralelismo com o eixo Oy.
• Em segundo lugar, se C = 0, a equação se transforma em Ax + By + D = 0, isto é, cerca de paralelo ao eixo pré-determinado Oz.
• Em terceiro lugar, se a D = 0, a equação aparece como Ax + By + Cz = 0, o que significa que o plano intercepta O (a origem).
• Em quarto lugar, se A = B = 0, a equação alterações para Cz + D = 0, que se revele ao paralelismo Oxy.
• Em quinto lugar, se B = C = 0, a equação torna-se Ax + D = 0, o que significa que o plano é paralelo ao Oyz.
• Em sexto lugar, se A = C = 0, a equação toma a forma Wu + D = 0, isto é, irá reportar ao Oxz paralelismo.

Forma da equação em segmentos

No caso em que os números de A, B, C, D diferente de zero, a forma da equação (0) pode ser como se segue:

x / a + y / b + z / c = 1,

em que A = D / A, b = D / B, c = -D / C.

Recebemos como uma equação resultado do avião em pedaços. Deve notar-se que este plano intercepta o eixo X no ponto com coordenadas (a, 0,0), Oy – (0, B, 0), e Oz – (0,0, s).

Dada a equação x / a + y / b + z / c = 1, não é difícil visualizar o plano de posicionamento em relação a um sistema de coordenadas predeterminado.

As coordenadas do vetor normal

O vector normal N ao plano P tem coordenadas que são os coeficientes da equação geral do plano, isto é, n (A, B, C).

A fim de determinar as coordenadas do n normal, é suficiente para conhecer a equação geral plano dado.

Quando usando a equação em segmentos, que tem a forma x / a + y / b + z / c = 1, como quando se utiliza a equação geral pode ser escrito coordenadas de qualquer vector normal de um dado plano: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Deve-se notar que o vetor normal de ajudar a resolver vários problemas. Os problemas mais comuns são que consiste em planos perpendiculares ou paralelas à prova, a tarefa de encontrar os ângulos entre os aviões ou os ângulos entre os planos e linhas rectas.

Tipo de acordo com a equação de plano e as coordenadas do vector normal de ponto

Um vector n diferente de zero, perpendicular a um plano dado, chamado normal (normal) a um plano predeterminado.

Suponha-se que no espaço de coordenadas (a sistema de coordenadas retangulares) Oxyz definido:

• ponto com coordenadas Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ);
• vetor zero n = A * i + * B + C * j k.

É preciso fazer equação do plano que passa através do ponto Mₒ perpendicular ao normal n.

No espaço que escolher qualquer ponto arbitrário e denotam M (x, y, z). Deixe o vector raio de cada ponto M (x, y, z) será r = x * i + y * z * k j +, e o vector de raio de um Mₒ ponto (hₒ, uₒ, zₒ) – rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. O ponto H vai pertencer a um dado avião, se o vector de MₒM ser perpendicular ao vector n. Nós escrevemos a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Desde MₒM = r-rₒ, a equação vetor do avião será parecido com este:

[R – rₒ, n] = 0.

Esta equação também pode ter outra forma. Para este fim, as propriedades do produto escalar, e convertido no lado esquerdo da equação. [R – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Se [rₒ, n] denotado como s, obtemos a seguinte equação: [r, n] – a = 0 ou [r, n] = s, que expressa a constância das projecções sobre o vector normal dos raio-vectores dos pontos dados que pertencem plano.

Agora é possível obter o plano de gravao tipo a equação vectorial de coordenadas [r – rₒ, n] = 0. Uma vez que o R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * k, e n = A * i + B * + C * j k, tem-se:

Acontece que temos a equação é formado plano que passa através do ponto perpendicular ao normal n:

Uma * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tipo de acordo com a equação de plano e as coordenadas de dois pontos do plano colinear vetor

Nós definimos dois pontos arbitrários M '(x', y 'z') e H "(X", Y", Z "), assim como o vector de (a', a", uma ‴).

Agora, podemos escrever a equação predeterminado plano que passa através do ponto M existente 'e M", e cada ponto com as coordenadas M (x, y, z) em paralelo para um determinado vector.

Assim, os vectores M'M x = {x 'y-y'; zz '} e H "H = {x" -X', y 'y'; z "-z '} devem ser coplanares com o vetor a = (a', a "um ‴), o que significa que (M'M M" H, a) = 0.

Portanto, a nossa equação de um plano no espaço será parecido com este:

Tipo de equação plano, cruzando três pontos

Digamos que temos três pontos: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Tem ‴, z ‴), que não pertencem à mesma linha. É necessário escrever a equação do plano que passa pelos três pontos especificados. teoria geometria argumenta que esse tipo de avião existe, é apenas um e só. Uma vez que este plano intercepta o ponto (x 'y', z '), a sua forma de equação seria:

Aqui, A, B, e C são diferentes de zero, ao mesmo tempo. Também dado plano intercepta mais dois pontos (x "y", Z ") e (x ‴, y ‴, z ‴). Neste contexto, deve ser realizado este tipo de condições:

Agora podemos criar um sistema uniforme de equações (lineares) com incógnitas u, v, w:

No nosso caso, x, y ou z representa ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Considerando a equação (1) e um sistema de equações (2) e (3) o sistema de equações indicadas na figura acima, o vector satisfaz N (A, B, C) o qual é não trivial. É porque o determinante do sistema é zero.

A equação (1) que temos, esta é a equação do plano. 3 ponto ela realmente se passa, e é fácil de verificar. Para fazer isso, vamos expandir o determinante pelos elementos na primeira linha. Das propriedades existentes determinante segue-se que o nosso plano intercepta simultaneamente os três ponto inicialmente predeterminado (x 'y', z '), (X "Y", Z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Então decidimos tarefa diante de nós.

ângulo diedro entre os planos

ângulo diedro é uma forma geométrica espacial formada pelos dois semi-planos que emanam a partir de uma linha recta. Em outras palavras, parte do espaço que está limitada às meias-aviões.

Suponha que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que o vector N = (A, B, C) e N¹ = (¹, H', S¹) de acordo com planos pré-determinados são perpendiculares. A este respeito, o ângulo entre os vectores φ N e N¹ igual ângulo (diedro), que está localizado entre estes planos. O produto escalar é dada por:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

precisamente porque

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H') ² + (S¹) ²)).

É o suficiente para considerar que 0≤φ≤π.

Na verdade dois planos que se intersectam, forma dois ângulo (diedro): & Phi ₁ e _{2 φ.} A sua soma é igual a pi (φ ₁ + ₂ = φ π). Tal como para os seus co-senos, os seus valores absolutos forem iguais, mas que são diferentes sinais, isto é, _um cos j = -cos φ _2. Se na equação (0) é substituído por A, B e C de -A, -B e -C, respectivamente, a equação, obtém-se, irá determinar o mesmo plano, o único ângulo φ em cos equação φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ele será substituído por π-φ.

A equação do plano perpendicular

Chamado plano perpendicular, entre as quais o ângulo é de 90 graus. Usando o material apresentado acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular à outra. Suponha que temos dois planos: Ax + By + Cz + D = 0 e + hl V¹u S¹z + + D = 0. Podemos dizer que eles são ortogonais se cos = 0. Isto significa que NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

A equação de um plano paralelo

Referia-se a dois planos paralelos que não contêm pontos em comum.

A condição de planos paralelos (as equações são as mesmas como no parágrafo anterior) é que os vectores de N e N¹, que são perpendiculares a eles, colinear. Isto significa que as seguintes condições sejam atendidas proporcionalidade:

A / ¹ = B / C = H'/ S¹.

Se os termos proporcionais são expandidas – A / ¹ = B / C = H'/ S¹ = DD¹,

isto indica que o plano de dados do mesmo. Isto significa que a equação Ax + By + Cz + D = 0 e + XH V¹u S¹z + + D¹ = 0 descrever um avião.

A distância do ponto de plano

Suponhamos que temos um plano P, que é dada por (0). É necessário saber a distância do ponto com coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Você precisa trazer a equação na aparência plano II normal, para torná-lo:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Neste caso, ρ (x, y, z) é o vector raio do nosso ponto Q, localizado no n p – n é o comprimento da perpendicular, que foi libertado a partir do ponto zero, v – é o vector de unidade, a qual está disposta na direcção de uma.

O ρ-ρº vector de diferença de raio de um ponto Q = (x, y, z), que pertence a n e o vector de raio de um determinado ponto Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) é um vector deste tipo, o valor absoluto da projecção de que em v é igual à distância d, o qual é necessário para encontrar a partir de Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) para P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, mas

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) – (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Assim, ao que parece,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Agora, é óbvio que para o cálculo da distância d entre ₀ e Q plano P, que é necessário para usar equação vista plano normal, o desvio para a esquerda de p, e o último local de x, y, z substituto (hₒ, uₒ, zₒ).

Assim, encontramos o valor absoluto da expressão resultante que é necessário d.

Usando os parâmetros de língua, percebemos o óbvio:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Se o ponto Q especificado ₀ está no outro lado do plano P, tal como a origem, em seguida, entre o vector ρ-ρ ⁰ e v é um ângulo obtuso, da seguinte forma:

d = – (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

No caso quando o ponto Q ₀ em conjunto com a origem localizada no mesmo lado do U, o ângulo agudo é criado, que é:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P – (ρ ^0, v)> 0.

O resultado é que no primeiro caso (ρ ^0, v)> p, na segunda (ρ ^0, v) <p.

E sua equação plano tangente

No que diz respeito ao plano da superfície no ponto de tangência Mº – um plano que contém todos os possíveis tangente à curva traçada através desse ponto sobre a superfície.

Com esta forma de superfície da equação F (x, y, z) = 0 na equação do Mº ponto plano tangente tangente (hº, uº, zº) seria:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + _x F (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Se a superfície é definida explicitamente z = f (x, y), em seguida, o plano tangente é descrito pela equação:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

A interseção de dois planos

No espaço tridimensional é um sistema de coordenadas (rectangular) Oxyz, dado dois planos P 'e P' que se sobrepõem e não coincidem. Uma vez que qualquer plano, o qual é em um sistema de coordenadas rectangulares definida pela equação geral, assume-se que n 'e n "são definidas pelas equações A'x + V'u S'z + + D' = 0 e A" B + x '+ y com "z + D" = 0. Neste caso, temos normal n '(A', B 'C') do plano P 'e a normal n "(A", B "C"), do plano P'. Como nosso avião não são paralelas e não coincidem, então esses vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, temos esta condição pode ser escrita como: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * E", λ * In "λ * C"), λεR. Deixe a linha reta que fica na intersecção P 'e P", será representado pela letra a, neste caso a = P' ∩ P".

e – uma linha que consiste por uma pluralidade de pontos (comuns) planos P 'e P". Isto significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha A, deve satisfazer simultaneamente a equação A'x + V'u S'z + + D '= 0 e A "X + B' + C z y" + D "= 0. Isto significa que as coordenadas do ponto será uma solução particular das seguintes equações:

O resultado é que a solução (total) deste sistema de equações vai determinar as coordenadas de cada um dos pontos na linha que vai actuar como o ponto de cruzamento P 'e P", e determinar uma linha num sistema de coordenadas Oxyz espaço (rectangular).