A teoria da probabilidade. Probabilidade de um evento, evento ocasional (teoria das probabilidades). desenvolvimentos independentes e incompatíveis na teoria da probabilidade

É pouco provável que muitas pessoas pensam que é possível contar eventos, que de certa forma acidental. Para colocá-lo em palavras simples, é realista para saber qual lado do cubo em que os dados vão cair na próxima vez. Foi essa pergunta a fazer dois grandes cientistas, lançou as bases para esta ciência, a teoria da probabilidade, a probabilidade do evento em que o estudado extensivamente o suficiente.

gênese

Se você tentar definir um conceito como a teoria da probabilidade, temos o seguinte: este é um dos ramos da matemática que estuda a constância de eventos aleatórios. Claramente, esse conceito realmente não revelar a essência, então você precisa considerar com mais detalhes.

Gostaria de começar com os fundadores da teoria. Como foi mencionado acima, houve duas, que por Ferma e Blez Paskal. Eles foram a primeira tentativa de utilização de fórmulas e cálculos matemáticos para calcular o resultado de um evento. Em geral, os rudimentos dessa ciência é ainda na Idade Média. Enquanto vários pensadores e cientistas têm tentado analisar os jogos de casino como a roleta, craps, e assim por diante, assim, estabelecer um padrão, e a perda de percentagem de um número. A fundação também foi estabelecido no século XVII foram os estudiosos acima mencionados.

Inicialmente, o seu trabalho não poderia ser atribuída às grandes conquistas neste campo, afinal, o que eles fizeram, eles eram simplesmente fatos empíricos e experimentos foram claramente sem usar fórmulas. Com o tempo, ele virou-se para conseguir grandes resultados, que apareceu como um resultado da observação do elenco dos ossos. É este instrumento tem ajudado a trazer a primeira fórmula distinta.

apoiantes

Para não mencionar um homem como Christiaan Huygens, no processo de estudar o assunto que leva o nome de "teoria da probabilidade" (probabilidade do evento destaca que nesta ciência). Esta pessoa é muito interessante. Ele, assim como cientistas apresentados acima são julgados na forma de fórmulas matemáticas para deduzir um padrão de eventos aleatórios. Vale ressaltar que ele não compartilhá-lo com Pascal e Fermat, que é todo o seu trabalho não se sobrepõe com essas mentes. Huygens derivado os conceitos básicos da teoria da probabilidade.

Um fato interessante é que o seu trabalho veio muito antes de os resultados dos trabalhos de pioneiros, para ser exato, vinte anos antes. Existem apenas entre os conceitos identificados foram:

• como o conceito de valores de probabilidade acaso;
• expectativa para o caso discreto;
• teoremas de adição e multiplicação de probabilidades.

Além disso, não se pode esquecer Yakoba Bernulli, que também contribuiu para o estudo do problema. Através da sua própria, nem de quem são testes independentes, ele foi capaz de fornecer a prova da lei dos grandes números. Por sua vez, os cientistas Poisson e Laplace, que trabalhou no início do século XIX, foram capazes de provar o teorema originais. A partir desse momento para analisar erros nas observações que começamos a usar a teoria da probabilidade. Partido em torno de esta ciência não podia e russo cientistas, em vez Markov, Chebyshev e Dyapunov. Eles são baseados no trabalho realizado grandes gênios, garantiu o assunto como um ramo da matemática. Trabalhámos estes números no final do século XIX e, graças à sua contribuição, foram fenômenos comprovada, tais como:

• lei dos grandes números;
• Teoria de Cadeias de Markov;
• O teorema limite central.

Assim, a história do nascimento da ciência e com as principais personalidades que contribuíram para isso, tudo é mais ou menos claro. Agora é hora de carne para fora todos os fatos.

conceitos básicos

Antes de tocar as leis e teoremas devem aprender os conceitos básicos da teoria da probabilidade. Evento que ocupa um papel dominante. Este tema é bastante extensa, mas não será capaz de compreender todo o resto sem ele.

Evento na teoria da probabilidade – é Qualquer conjunto de resultados do experimento. Conceitos desse fenômeno não é suficiente. Assim, Lotman cientista que trabalha nesta área, expressou que neste caso estamos a falar sobre o que "aconteceu, embora não poderia acontecer."

eventos aleatórios (teoria da probabilidade presta especial atenção a eles) – é um conceito que envolve absolutamente qualquer fenômeno ter a possibilidade de ocorrer. Ou, pelo contrário, este cenário pode não acontecer no desempenho de uma variedade de condições. Também vale a pena saber que ocupam todo o volume dos fenômenos que ocorrem eventos apenas aleatórios. teoria das probabilidades sugere que todas as condições pode ser repetido constantemente. É sua conduta tem sido chamado de "experiência" ou "teste".

Fato relevante – este é um fenômeno que é cem por cento neste teste acontecer. Assim, o evento impossível – isso é algo que não acontece.

A combinação de pares de Acção (convencionalmente o caso de A e B caso) é um fenómeno que ocorre simultaneamente. Eles são referidos como AB.

A quantidade de pares de eventos A e B – C é, por outras palavras, se, pelo menos, um deles (A ou B), obtém um C. A fórmula fenómeno descrito é escrito como C = A + B.

desenvolvimentos incompatíveis na teoria da probabilidade implica que os dois casos são mutuamente exclusivas. Ao mesmo tempo eles são em qualquer caso, não pode ocorrer. eventos conjuntos em teoria da probabilidade – é o seu antípoda. A implicação é que, se A acontecido, que não se opõe C.

Opondo-se ao evento (teoria da probabilidade considera-los em grande detalhe), são fáceis de entender. É melhor lidar com eles em comparação. Eles são quase os mesmos desenvolvimentos como incompatíveis na teoria da probabilidade. No entanto, a sua diferença é que um de uma pluralidade de fenómenos em qualquer caso deve ocorrer.

eventos igualmente prováveis – essas ações, a possibilidade de repetição é igual. Para deixar claro, que você pode imaginar jogar uma moeda: a perda de um de seus lados é igualmente provável perda de outro.

é mais fácil considerar o exemplo de favorecer o evento. Suponhamos que há um episódio no episódio A. A primeira – um rolo de uma fieira com o advento de um número ímpar, e o segundo – o aspecto do número cinco sobre os dados. Em seguida, verifica-se que A é V. favorecida

eventos independentes em teoria de probabilidade são projetadas apenas em duas ou mais ocasiões e envolvem independente de qualquer ação do outro. Por exemplo, A – a perda de jogar caudas moeda, e B – jack dostavanie do baralho. Eles têm eventos independentes em teoria da probabilidade. A partir deste momento ficou claro.

eventos dependentes da teoria da probabilidade também é permitido apenas para o seu conjunto. Elas implicam dependência de um sobre o outro, isto é, o fenômeno pode ocorrer em apenas no caso em que A já ocorreu ou, pelo contrário, não aconteceu quando ele é – a principal condição para B.

O resultado do experimento aleatório constituído por um único componente – é evento primário. teoria das probabilidades diz que é um fenômeno que é feito apenas uma vez.

fórmula básica

Assim, o acima foram considerados o conceito de "teoria da probabilidade" "evento", também foi dado definições de termos-chave desta ciência. Agora é hora de familiarizar-se com as fórmulas importantes. Estas expressões são matematicamente confirmou todos os principais conceitos em um assunto tão difícil como a teoria da probabilidade. Probabilidade de um evento e desempenha um papel enorme.

Melhor começar com as fórmulas básicas de análise combinatória. E antes de começar a eles, vale a pena considerar o que é.

Combinatória – é essencialmente um ramo da matemática, ele foi estudar um grande número de números inteiros, e várias permutações de ambos os números e os seus elementos, vários dados, etc., levando a uma série de combinações … Além da teoria da probabilidade, esta indústria é importante para a estatística, ciência da computação e criptografia.

Então, agora você pode passar para a apresentação de si mesmos e suas fórmulas de definição.

O primeiro destes é a expressão para o número de permutações, é como se segue:

P_n = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) … 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Equação aplica-se apenas no caso de se os elementos diferem apenas na ordem de arranjo.

Agora fórmula colocação, parece que este será considerado:

A_n ^ m = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n – m + 1) = n! : (N – m)!

Esta expressão é aplicável não só para o único elemento de colocação da ordem, mas também a sua composição.

A terceira equação de combinatória, e é esta última, chamada a fórmula para o número de combinações:

C_n ^ m = n! : ((N – m))! : M!

Combinação chamado de amostragem, que não são ordenados, respectivamente, e aplicou esta regra.

Com as fórmulas de combinatória veio a entender facilmente, agora você pode ir para a definição clássica de probabilidade. Parece que esta expressão como segue:

P (A) = m: n.

Nesta fórmula, m – representa o número de condições que conduzam ao evento A, e n – número de eventos de forma igual e completamente todos os elementares.

Há muitas expressões no artigo não serão considerados tudo menos afetados serão os mais importantes, como, por exemplo, a probabilidade de eventos equivale:

P (A + B) = P (A) + P (B) – este teorema para a adição de apenas eventos mutuamente exclusivos;

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) – mas isto só é para adicionar compatível.

A probabilidade das obras do evento:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) – este teorema para eventos independentes;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) – e deste para o dependente.

Lista terminou de fórmula eventos. A teoria das probabilidades diz-nos teorema Bayes, que se parece com isso:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (a | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (a | H_k)), m = 1, …, n

Nesta fórmula, H _1, H _2, …, H _n – é um conjunto completo de hipóteses.

Nesta parada, aplicação amostras fórmulas será agora considerado para tarefas específicas de prática.

exemplos

Se você estudar cuidadosamente qualquer ramo da matemática, não é sem exercícios e soluções de amostra. E a teoria da probabilidade: eventos, exemplos aqui são um componente integral de confirmar cálculos científicos.

A fórmula para o número de permutações

Por exemplo, em um baralho de cartas tem trinta cartas, começando com o nominal. Próxima pergunta. Quantas maneiras de dobrar a plataforma para que os cartões com um valor nominal de um e dois não foram localizados próximo?

A tarefa é definida, agora vamos passar para lidar com isso. Primeiro você precisa para determinar o número de permutações de trinta elementos, para este fim que tomamos a fórmula acima, verifica-se P_30 = 30!.

Com base nesta regra, sabemos quantas opções existem para estabelecer o convés, em muitos aspectos, mas devemos ser deduzido a partir deles são aqueles em que o primeiro e segundo cartão será o próximo. Para fazer isso, começar com uma variante, quando o primeiro está localizado no segundo. Acontece que o primeiro mapa pode demorar vinte e nove lugares – desde o primeiro até o vigésimo nono, eo segundo cartão a partir do segundo para o meia, vira vinte e nove assentos para os pares de cartas. Por sua vez, os outros podem demorar vinte e oito lugares, e em qualquer ordem. Ou seja, para o rearranjo dos vinte e oito cartões têm vinte e oito opções P_28 = 28!

O resultado é que se considerarmos a decisão, quando o primeiro cartão é sobre a segunda oportunidade extra para obter 29 ⋅ 28! = 29!

Usando o mesmo método, você precisa calcular o número de opções redundantes para o caso quando o primeiro cartão está localizado sob o segundo. Também obteve 29 ⋅ 28! = 29!

Disto se segue que as opções extra 2 ⋅ 29!, Enquanto os meios necessários para recolher o convés 30! – 2 ⋅ 29!. Resta apenas de calcular.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 – 2) = 29! ⋅ 28

Agora é preciso multiplicar em conjunto todos os números 1-29, e em seguida, no final de tudo multiplicado por 28. A resposta obtida 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Exemplos de soluções. A fórmula para o número de alojamento

Neste problema, você precisa descobrir quantos existem maneiras de colocar os quinze volumes em uma prateleira, mas sob a condição de apenas trinta volumes.

Nesta tarefa, a decisão um pouco mais fácil do que o anterior. Usando a fórmula já conhecida, é necessário calcular o número total de trinta locais quinze volumes.

A_30 ^ 15 = 30 29 ⋅ ⋅ … ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 29 ⋅ ⋅ 28 ⋅ … ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Resposta, respectivamente, será igual a 843 204 931 202 727 360 000.

Agora pegue a tarefa um pouco mais difícil. Você precisa saber quantos existem maneiras de organizar os trinta e dois livros nas prateleiras, com a condição de que apenas quinze volumes podem residir na mesma prateleira.

Antes do início da decisão gostaria de esclarecer que alguns dos problemas podem ser resolvidos de várias maneiras, e nesta há duas maneiras, mas em ambos uma ea mesma fórmula é aplicada.

Nesta tarefa, você pode ter a resposta do anterior, porque não temos calculado o número de vezes que você pode preencher a prateleira por quinze livros de diferentes maneiras. Descobriu-se A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16.

O segundo regimento calculado pela fórmula remodelação, porque ele é colocado quinze livros, enquanto que o restante de quinze. Usamos fórmula P_15 = 15!.

Acontece que a soma vai A_30 ^ 15 ⋅ P_15 maneiras, mas, além disso, o produto de todos os números de 30-16 seria multiplicado pelo produto dos números de um a quinze anos, no final acabam pelo produto de todos os números de um a trinta, que é a resposta é 30!

Mas este problema pode ser resolvido de uma maneira diferente – mais fácil. Para fazer isso, você pode imaginar que há uma prateleira para trinta livros. Todos eles são colocados neste plano, mas porque a condição requer que havia duas prateleiras, um tempo que serrar ao meio, duas voltas quinze. Deste verifica-se que para este arranjo pode ser P_30 = 30!.

Exemplos de soluções. A fórmula para o número de combinações de

Quem é considerado uma variante do terceiro problema de combinatória. Você precisa saber quantas maneiras existem para organizar quinze livros sobre a condição de que você deve escolher trinta exatamente o mesmo.

Para a decisão irá, naturalmente, aplicar a fórmula para o número de combinações. A partir da condição que torna-se claro que a ordem dos mesmos quinze livros não é importante. Assim, inicialmente, você precisa descobrir o número total de combinações de trinta quinze livros.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Isto é tudo. Utilizando esta fórmula, no menor tempo possível para resolver um tal problema, a resposta, respectivamente, igual a 155.117.520.

Exemplos de soluções. A definição clássica de probabilidade

Usando a fórmula dada acima, pode-se encontrar uma resposta em uma tarefa simples. Mas vai ver claramente e seguir o curso da ação.

A tarefa dado que numa urna existem dez bolas completamente idênticas. Destes, quatro amarelos e seis azul. Tomado da urna uma bola. É necessário saber a probabilidade dostavaniya azul.

Para resolver o problema, é necessário designar dostavanie evento bola azul A. Esta experiência pode ter dez resultados, que, por sua vez, fundamental e igualmente prováveis. Ao mesmo tempo, seis dos dez são favoráveis para o evento A. Resolver a seguinte fórmula:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicando esta fórmula, nós aprendemos que a possibilidade dostavaniya bola azul é de 0,6.

Exemplos de soluções. A probabilidade de quantidade eventos

Quem vai ser uma variante que é resolvido usando a fórmula da probabilidade de quantidade eventos. Assim, dada a condição de que existem dois casos, o primeiro é cinza e cinco bolas brancas, enquanto o segundo – oito cinza e quatro bolas brancas. Como resultado, a primeira e segunda caixas assumiram um deles. É necessário descobrir quais são as chances de que careciam as bolas são cinza e branco.

Para resolver este problema, é necessário identificar o evento.

• Assim, A – que tem uma gray ball da primeira caixa de: P (A) = 1/6.
• Um '- lâmpada branca também feita a partir da primeira caixa de: P (A') = 5/6.
• A – gray ball já extraída da segunda conduta: P (B) = 03/02.
• B '- toma uma gray ball da segunda gaveta: P (B') = 1/3.

De acordo com o problema, é necessário que um dos fenômenos aconteceu: AB 'ou' B. Usando a fórmula, obtém-se: P (AB ') = 18/01, P (A'B) = 10/18.

Agora foi utilizada a fórmula da multiplicação da probabilidade. Em seguida, para descobrir a resposta, você precisa aplicar sua equação acrescentando:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

É assim que, usando a fórmula, você pode resolver tais problemas.

resultado

O trabalho foi apresentado a informação em "teoria da probabilidade", a probabilidade de eventos que desempenham um papel importante. Claro, nem tudo tem sido considerada, mas com base no texto apresentado, você pode teoricamente se familiarizar com este ramo da matemática. ciência considerada pode ser útil não só no negócio profissional, mas também na vida cotidiana. Você pode usá-lo para calcular qualquer possibilidade de um evento.

O texto também foi afetada por datas significativas na história do desenvolvimento da teoria da probabilidade como uma ciência, e os nomes das pessoas cujas obras foram colocar nele. É assim que a curiosidade humana levou ao fato de que as pessoas aprenderam a contar, até mesmo eventos aleatórios. Uma vez que eles são apenas interessado nisso, mas hoje já é conhecido de todos. E ninguém pode dizer o que vai acontecer com a gente no futuro, o que as outras brilhantes descobertas relacionadas com a teoria em questão, seria cometido. Mas uma coisa é certa – o estudo ainda não vale a pena!