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números reais e suas propriedades


Pitágoras afirmou que o número é a fundação do mundo em pé de igualdade com os principais elementos. Platão acreditava que o número de ligações do fenômeno e o númeno, ajudando a saber, a ser pesado e tirar conclusões. Aritmética vem da palavra "arifmos" – o número, o ponto de partida em matemática. É possível descrever qualquer objeto – do básico ao espaços abstratos maçã.

Necessidades como factor de desenvolvimento

Nos estágios iniciais do desenvolvimento da sociedade as necessidades das pessoas constrangidas pela necessidade de manter a pontuação – .. Um saco de grãos, dois saco de grãos, etc. Para isso, foi números naturais, o conjunto de que é uma sequência infinita de inteiros N. positiva

Mais tarde, o desenvolvimento da matemática como uma ciência, era necessário no campo específico de inteiros Z – que inclui valores negativos e zero. Sua aparição a nível nacional, foi provocada pelo fato de que a contabilização inicial tinha que consertar alguma forma as dívidas e perdas. Em um nível científico, os números negativos tornaram possível para resolver simples equações lineares. Entre outras coisas, é agora possível para uma imagem do sistema trivial coordenar, ie. A. Houve um ponto de referência.

O passo seguinte foi a necessidade de digitar números fracionários, já que a ciência não pára, mais e mais novas descobertas exigiu uma base teórica para um novo crescimento impulso. Então, houve um campo de números racionais Q.

Finalmente, já não satisfazem as exigências da racionalidade, porque todas as novas descobertas requerem justificação. Havia um campo de números reais R, as obras de incomensurabilidade de determinadas quantidades por causa de sua irracionalidade de Euclides. Isto é, o antigo matemático grego posicionado não só como um número constante, mas como um valor sumário que se caracteriza pela proporção de magnitudes incomensuráveis. Devido ao fato de que existem números reais, "nós vimos a luz" valores como a "pi" e "e", sem a qual a matemática moderna não poderia ter ocorrido.

A inovação final foi um número complexo C. Ele respondeu uma série de perguntas e refutou postulados inseridos anteriormente. Devido ao rápido desenvolvimento de resultado álgebra era previsível – com números reais, a decisão de muitos problemas não foi possível. Por exemplo, graças aos números complexos destacou-se a teoria das cordas e equações caos expandida da hidrodinâmica.

Teoria dos Conjuntos. cantor

O conceito de infinito sempre causou polêmica, já que era impossível provar ou refutar. No contexto da matemática, que é operado postulados estritamente verificados, se manifestou mais obviamente, mais que o aspecto teológico ainda pesava em ciência.

No entanto, através do trabalho do matemático Georg Cantor todos os tempos caiu no lugar. Ele provou que os conjuntos infinitos existe um conjunto infinito, e que o campo R é maior do que o campo N, deixe ambos e não ter fim. No meio do século XIX, suas idéias chamado publicamente um disparate e um crime contra a cânones imutáveis clássicos, mas o tempo vai colocar tudo em seu lugar.

propriedades básicas de campo R

Os números reais não só tem as mesmas propriedades que o podmozhestva que eles incluem, mas são complementados por outros masshabnosti em virtude dos seus elementos:

  • Zero R. existe e pertence ao campo c + c = 0 para qualquer c de R.
  • Zero existe e pertence ao campo de R. c x 0 = 0 para qualquer c de R.
  • A proporção c: d em que d 0 ≠ existe e é válida para qualquer c, d de R.
  • Campo R ordenada, isto é, se c ≤ d, d ≤ c, em seguida, c = d para qualquer c, d de R.
  • A adição em campo R é conmutativo, isto c + d = d + c, para qualquer c, d de R.
  • A multiplicação no campo R é conmutativo, isto é, x c x d = d c para todo c, d de R.
  • A adição em campo R é associativo isto é, (c + d) + f = C + (d + f) para qualquer c, d, f de R.
  • A multiplicação no campo R é associativo isto é, (c X d) x = f c x (d x f) para qualquer c, d, f R.
  • Para cada número de campo oposto ao que R ali, de tal modo que c + (c) = 0, em que c, -c de R.
  • Para cada número de campo R existe o seu inverso, de tal modo que c x c -1 = 1 onde c, c -1 de R.
  • Unidade existe e pertence a R, de modo a que os c x 1 = c, para qualquer c de R.
  • Ele tem a distribuição de lei de potência, de modo que c x (d + f) = C x f x c + d, em qualquer c, d, f de R.
  • O campo R é zero não é igual à unidade.
  • O campo R é transitiva: se c ≤ d, d ≤ f, então c ≤ f para qualquer c, d, f da R.
  • Na ordem R e adição são interligados: se c ≤ d, então c + d + f ≤ F para todo c, d, f de R.
  • Na ordem de R e multiplicação ligados: se 0 ≤ c, 0 ≤ d, em seguida, 0 ≤ c x d para qualquer c, d de R.
  • Como números reais positivos e negativos são contínuas, isto é, para qualquer c, d de R f, existe a partir de R, que c ≤ f ≤ d.

campo Módulo R

Os números reais incluem uma coisa como um módulo. Designou como a | f | para qualquer f em R. | f | = F, se 0 ≤ f e | f | = -f, se 0> f. Se considerarmos o módulo como um valor geométrica, é uma distância – não importa, "passou"-lo como zero no negativo para o positivo ou para frente.

Os números complexos e reais. Quais são as semelhanças e diferenças?

Por e números grandes, complexos e reais – eles são uma e a mesma, excepto que o primeiro se juntou a unidade imaginária i, o quadrado de que é igual a -1. Elementos campos R e C podem ser representados pela seguinte fórmula:

  • c = d + f x i, em que d, f pertencem ao campo R, e i – unidade imaginária.

Para obter o c de R f neste caso assumiu simplesmente para ser zero, ou seja, não é apenas a parte real do número. Como o campo de números complexos tem o mesmo conjunto de recursos como o campo de reais, f x i = 0 se f = 0.

No que diz respeito diferenças práticas, por exemplo, no campo R equação quadrática não pode ser resolvido se a discriminante é negativo, enquanto a caixa de C não impõe essa limitação, introduzindo a unidade imaginária i.

resultados

"tijolos" de axiomas e postulados em que a matemática de base, não mudam. Em alguns deles, devido ao aumento da informação e da introdução de novas teorias colocadas as seguintes "tijolos", que no futuro podem se tornar a base para a próxima etapa. Por exemplo, os números naturais, apesar do fato de que eles são um subconjunto do verdadeiro campo R, não perde sua relevância. É a eles a base de toda a aritmética elementar, que começa com o conhecimento de um homem de paz.

De um ponto de vista prático, os números reais olhar como uma linha reta. É possível escolher uma direção, para identificar a origem eo campo. Direta consiste de um número infinito de pontos, cada um dos quais corresponde a um único número real, independentemente de haver ou não racional. A partir da descrição, é claro que estamos falando sobre o conceito, que é baseado matemática em geral, e análise matemática em particular.